Основы мат. анализа Примеры

$\log (x \sqrt{x^{2} + 1})$

Этап 1

Перепишем $\log (x \sqrt{x^{2} + 1})$ в виде $\log (x) + \log (\sqrt{x^{2} + 1})$ .

$\log (x) + \log (\sqrt{x^{2} + 1})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log (x) + \log ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Развернем $\log ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\log (x) + \frac{1}{2} \log (x^{2} + 1)$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log (x^{2} + 1)$ .

$\log (x) + \frac{\log (x^{2} + 1)}{2}$

Этап 5

Чтобы записать $\log (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\log (x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log (x^{2} + 1)}{2}$

Этап 6

Объединим $\log (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log (x) \cdot 2}{2} + \frac{\log (x^{2} + 1)}{2}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log (x) \cdot 2 + \log (x^{2} + 1)}{2}$

Этап 8

Перенесем $2$ влево от $\log (x)$ .

$\frac{2 \log (x) + \log (x^{2} + 1)}{2}$