Основы мат. анализа Примеры

$\log (\frac{7 x^{2} \sqrt[3]{1 - x}}{8 {(x + 1)}^{2}})$

Этап 1

Перепишем $\log (\frac{7 x^{2} \sqrt[3]{1 - x}}{8 {(x + 1)}^{2}})$ в виде $\log (7 x^{2} \sqrt[3]{1 - x}) - \log (8 {(x + 1)}^{2})$ .

$\log (7 x^{2} \sqrt[3]{1 - x}) - \log (8 {(x + 1)}^{2})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{1 - x}$ в виде ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log (7 x^{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (8 {(x + 1)}^{2})$

Этап 3

Перепишем $\log (7 x^{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$ в виде $\log (7 x^{2}) + \log ({(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\log (7 x^{2}) + \log ({(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (8 {(x + 1)}^{2})$

Этап 4

Перепишем $\log (7 x^{2})$ в виде $\log (7) + \log (x^{2})$ .

$\log (7) + \log (x^{2}) + \log ({(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (8 {(x + 1)}^{2})$

Этап 5

Развернем $\log (x^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\log (7) + 2 \log (x) + \log ({(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (8 {(x + 1)}^{2})$

Этап 6

Развернем $\log ({(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$ , вынося $\frac{1}{3}$ из логарифма.

$\log (7) + 2 \log (x) + \frac{1}{3} \log (1 - x) - \log (8 {(x + 1)}^{2})$

Этап 7

Перепишем $\log (8 {(x + 1)}^{2})$ в виде $\log (8) + \log ({(x + 1)}^{2})$ .

$\log (7) + 2 \log (x) + \frac{1}{3} \log (1 - x) - (\log (8) + \log ({(x + 1)}^{2}))$

Этап 8

Развернем $\log ({(x + 1)}^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\log (7) + 2 \log (x) + \frac{1}{3} \log (1 - x) - (\log (8) + 2 \log (x + 1))$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\log (1 - x)$ .

$\log (7) + 2 \log (x) + \frac{\log (1 - x)}{3} - (\log (8) + 2 \log (x + 1))$

Этап 9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $\log (8)$ в виде $\log (2^{3})$ .

$\log (7) + 2 \log (x) + \frac{\log (1 - x)}{3} - (\log (2^{3}) + 2 \log (x + 1))$

Этап 9.2.2

Развернем $\log (2^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\log (7) + 2 \log (x) + \frac{\log (1 - x)}{3} - (3 \log (2) + 2 \log (x + 1))$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (7) + 2 \log (x) + \frac{\log (1 - x)}{3} - (3 \log (2)) - (2 \log (x + 1))$

Этап 9.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\log (7) + 2 \log (x) + \frac{\log (1 - x)}{3} - 3 \log (2) - (2 \log (x + 1))$

Этап 9.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\log (7) + 2 \log (x) + \frac{\log (1 - x)}{3} - 3 \log (2) - 2 \log (x + 1)$

Этап 10

Чтобы записать $\log (7)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 \log (x) + \log (7) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\log (1 - x)}{3} - 3 \log (2) - 2 \log (x + 1)$

Этап 11

Объединим $\log (7)$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 \log (x) + \frac{\log (7) \cdot 3}{3} + \frac{\log (1 - x)}{3} - 3 \log (2) - 2 \log (x + 1)$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \log (x) + \frac{\log (7) \cdot 3 + \log (1 - x)}{3} - 3 \log (2) - 2 \log (x + 1)$

Этап 13

Перенесем $3$ влево от $\log (7)$ .

$2 \log (x) + \frac{3 \log (7) + \log (1 - x)}{3} - 3 \log (2) - 2 \log (x + 1)$

Этап 14

Чтобы записать $- 2 \log (x + 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 \log (x) + \frac{3 \log (7) + \log (1 - x)}{3} - 2 \log (x + 1) \cdot \frac{3}{3} - 3 \log (2)$

Этап 15

Объединим $- 2 \log (x + 1)$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 \log (x) + \frac{3 \log (7) + \log (1 - x)}{3} + \frac{- 2 \log (x + 1) \cdot 3}{3} - 3 \log (2)$

Этап 16

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \log (x) + \frac{3 \log (7) + \log (1 - x) - 2 \log (x + 1) \cdot 3}{3} - 3 \log (2)$

Этап 17

Умножим $3$ на $- 2$ .

$2 \log (x) + \frac{3 \log (7) + \log (1 - x) - 6 \log (x + 1)}{3} - 3 \log (2)$