Основы мат. анализа Примеры

$\ln (r^{7} s^{8} \sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (r^{7} s^{8} \sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$ в виде $\ln (r^{7} s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$ .

$\ln (r^{7} s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

Этап 2

Перепишем $\ln (r^{7} s^{8})$ в виде $\ln (r^{7}) + \ln (s^{8})$ .

$\ln (r^{7}) + \ln (s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{r^{4} s^{9}}$ в виде ${(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}}$ .

$\ln (r^{7}) + \ln (s^{8}) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

Этап 4

Развернем $\ln (r^{7})$ , вынося $7$ из логарифма.

$7 \ln (r) + \ln (s^{8}) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

Этап 5

Развернем $\ln (s^{8})$ , вынося $8$ из логарифма.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

Этап 6

Развернем $\ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$ , вынося $\frac{1}{7}$ из логарифма.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} \ln (r^{4} s^{9})$

Этап 7

Перепишем $\ln (r^{4} s^{9})$ в виде $\ln (r^{4}) + \ln (s^{9})$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (\ln (r^{4}) + \ln (s^{9}))$

Этап 8

Развернем $\ln (r^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r) + \ln (s^{9}))$

Этап 9

Развернем $\ln (s^{9})$ , вынося $9$ из логарифма.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r) + 9 \ln (s))$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r)) + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

Этап 10.2

Умножим $\frac{1}{7} (4 \ln (r))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{7}$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4}{7} \ln (r) + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

Этап 10.2.2

Объединим $\frac{4}{7}$ и $\ln (r)$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

Этап 10.3

Умножим $\frac{1}{7} (9 \ln (s))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $9$ и $\frac{1}{7}$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9}{7} \ln (s)$

Этап 10.3.2

Объединим $\frac{9}{7}$ и $\ln (s)$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Этап 11

Чтобы записать $7 \ln (r)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$8 \ln (s) + 7 \ln (r) \cdot \frac{7}{7} + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Этап 12

Объединим $7 \ln (r)$ и $\frac{7}{7}$ .

$8 \ln (s) + \frac{7 \ln (r) \cdot 7}{7} + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Этап 13

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \ln (s) + \frac{7 \ln (r) \cdot 7 + 4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Этап 14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Вынесем множитель $\ln (r)$ из $7 \ln (r) \cdot 7 + 4 \ln (r)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1.1

Вынесем множитель $\ln (r)$ из $7 \ln (r) \cdot 7$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7) + 4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Этап 14.1.1.2

Вынесем множитель $\ln (r)$ из $4 \ln (r)$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7) + \ln (r) \cdot 4}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Этап 14.1.1.3

Вынесем множитель $\ln (r)$ из $\ln (r) (7 \cdot 7) + \ln (r) \cdot 4$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7 + 4)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Этап 14.1.2

Умножим $7$ на $7$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (49 + 4)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Этап 14.1.3

Добавим $49$ и $4$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) \cdot 53}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Этап 14.2

Перенесем $53$ влево от $\ln (r)$ .

$8 \ln (s) + \frac{53 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Этап 15

Чтобы записать $8 \ln (s)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$8 \ln (s) \cdot \frac{7}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

Этап 16

Объединим $8 \ln (s)$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

Этап 17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7 + 9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

Этап 18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7 + 9 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$

Этап 19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Умножим $7$ на $8$ .

$\frac{56 \ln (s) + 9 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$

Этап 19.2

Добавим $56 \ln (s)$ и $9 \ln (s)$ .

$\frac{65 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$