Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\sqrt[4]{\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))}}$ в виде ${(\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\ln ({(\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))})}^{\frac{1}{4}})$

Этап 2

Развернем $\ln ({(\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))})}^{\frac{1}{4}})$ , вынося $\frac{1}{4}$ из логарифма.

$\frac{1}{4} \ln (\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))})$

Этап 3

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{3 (2 x + 1)}{16 (x - 5) (x^{2} + 1)})$

Этап 4

Перепишем $\ln (\frac{3 (2 x + 1)}{16 (x - 5) (x^{2} + 1)})$ в виде $\ln (3 (2 x + 1)) - \ln (16 (x - 5) (x^{2} + 1))$ .

$\frac{1}{4} (\ln (3 (2 x + 1)) - \ln (16 (x - 5) (x^{2} + 1)))$

Этап 5

Перепишем $\ln (3 (2 x + 1))$ в виде $\ln (3) + \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - \ln (16 (x - 5) (x^{2} + 1)))$

Этап 6

Перепишем $\ln (16 (x - 5) (x^{2} + 1))$ в виде $\ln (16 (x - 5)) + \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (\ln (16 (x - 5)) + \ln (x^{2} + 1)))$

Этап 7

Перепишем $\ln (16 (x - 5))$ в виде $\ln (16) + \ln (x - 5)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (\ln (16) + \ln (x - 5) + \ln (x^{2} + 1)))$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем $\ln (16)$ в виде $\ln (2^{4})$ .

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (\ln (2^{4}) + \ln (x - 5) + \ln (x^{2} + 1)))$

Этап 8.1.2

Развернем $\ln (2^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (4 \ln (2) + \ln (x - 5) + \ln (x^{2} + 1)))$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (4 \ln (2)) - \ln (x - 5) - \ln (x^{2} + 1))$

Этап 8.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - 4 \ln (2) - \ln (x - 5) - \ln (x^{2} + 1))$

Этап 9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} \ln (3) + \frac{1}{4} \ln (2 x + 1) + \frac{1}{4} (- 4 \ln (2)) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (3)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{1}{4} \ln (2 x + 1) + \frac{1}{4} (- 4 \ln (2)) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (2 x + 1)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} + \frac{1}{4} (- 4 \ln (2)) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \ln (2)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} + \frac{1}{4} (4 (- \ln (2))) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} + \frac{1}{4} (4 (- \ln (2))) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Этап 10.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} - \ln (2) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Этап 10.4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (x - 5)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} - \ln (2) - \frac{\ln (x - 5)}{4} + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Этап 10.5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} - \ln (2) - \frac{\ln (x - 5)}{4} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{4}$

Этап 11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (3) + \ln (2 x + 1)}{4} - \ln (2) - \frac{\ln (x - 5)}{4} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{4}$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (3) + \ln (2 x + 1) - \ln (x - 5)}{4} - \ln (2) - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{4}$

Этап 13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (3) + \ln (2 x + 1) - \ln (x - 5) - \ln (x^{2} + 1)}{4} - \ln (2)$