Основы мат. анализа Примеры

$\log (\sqrt{x^{3} \sqrt{y^{3} \sqrt{z}}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{z}$ в виде $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\log (\sqrt{x^{3} \sqrt{y^{3} z^{\frac{1}{2}}}})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y^{3} z^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(y^{3} z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log (\sqrt{x^{3} {(y^{3} z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3} {(y^{3} z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{3} {(y^{3} z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log ({(x^{3} {(y^{3} z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4

Развернем $\log ({(x^{3} {(y^{3} z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \log (x^{3} {(y^{3} z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5

Перепишем $\log (x^{3} {(y^{3} z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ в виде $\log (x^{3}) + \log ({(y^{3} z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{2} (\log (x^{3}) + \log ({(y^{3} z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 6

Развернем $\log (x^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (3 \log (x) + \log ({(y^{3} z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 7

Развернем $\log ({(y^{3} z^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (3 \log (x) + \frac{1}{2} \log (y^{3} z^{\frac{1}{2}}))$

Этап 8

Перепишем $\log (y^{3} z^{\frac{1}{2}})$ в виде $\log (y^{3}) + \log (z^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{2} (3 \log (x) + \frac{1}{2} (\log (y^{3}) + \log (z^{\frac{1}{2}})))$

Этап 9

Развернем $\log (y^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (3 \log (x) + \frac{1}{2} (3 \log (y) + \log (z^{\frac{1}{2}})))$

Этап 10

Развернем $\log (z^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (3 \log (x) + \frac{1}{2} (3 \log (y) + \frac{1}{2} \log (z)))$

Этап 11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log (z)$ .

$\frac{1}{2} (3 \log (x) + \frac{1}{2} (3 \log (y) + \frac{\log (z)}{2}))$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (3 \log (x) + \frac{1}{2} (3 \log (y)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\log (z)}{2})$

Этап 11.3

Умножим $\frac{1}{2} (3 \log (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 \log (x) + \frac{3}{2} \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\log (z)}{2})$

Этап 11.3.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\log (y)$ .

$\frac{1}{2} (3 \log (x) + \frac{3 \log (y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\log (z)}{2})$

Этап 11.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\log (z)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\log (z)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 \log (x) + \frac{3 \log (y)}{2} + \frac{\log (z)}{2 \cdot 2})$

Этап 11.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (3 \log (x) + \frac{3 \log (y)}{2} + \frac{\log (z)}{4})$

Этап 12

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (3 \log (x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \log (y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\log (z)}{4}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $\frac{1}{2} (3 \log (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \log (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \log (y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\log (z)}{4}$

Этап 13.1.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\log (x)$ .

$\frac{3 \log (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \log (y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\log (z)}{4}$

Этап 13.2

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \log (y)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3 \log (y)}{2}$ .

$\frac{3 \log (x)}{2} + \frac{3 \log (y)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\log (z)}{4}$

Этап 13.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 \log (x)}{2} + \frac{3 \log (y)}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\log (z)}{4}$

Этап 13.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\log (z)}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\log (z)}{4}$ .

$\frac{3 \log (x)}{2} + \frac{3 \log (y)}{4} + \frac{\log (z)}{2 \cdot 4}$

Этап 13.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{3 \log (x)}{2} + \frac{3 \log (y)}{4} + \frac{\log (z)}{8}$