Основы мат. анализа Примеры

$\log (\sqrt{x \sqrt{y^{5} \sqrt{z^{5}}}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{z^{5}}$ в виде $z^{\frac{5}{2}}$ .

$\log (\sqrt{x \sqrt{y^{5} z^{\frac{5}{2}}}})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y^{5} z^{\frac{5}{2}}}$ в виде ${(y^{5} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log (\sqrt{x {(y^{5} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x {(y^{5} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x {(y^{5} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log ({(x {(y^{5} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4

Развернем $\log ({(x {(y^{5} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \log (x {(y^{5} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5

Перепишем $\log (x {(y^{5} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ в виде $\log (x) + \log ({(y^{5} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \log ({(y^{5} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 6

Развернем $\log ({(y^{5} z^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{1}{2} \log (y^{5} z^{\frac{5}{2}}))$

Этап 7

Перепишем $\log (y^{5} z^{\frac{5}{2}})$ в виде $\log (y^{5}) + \log (z^{\frac{5}{2}})$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{1}{2} (\log (y^{5}) + \log (z^{\frac{5}{2}})))$

Этап 8

Развернем $\log (y^{5})$ , вынося $5$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{1}{2} (5 \log (y) + \log (z^{\frac{5}{2}})))$

Этап 9

Развернем $\log (z^{\frac{5}{2}})$ , вынося $\frac{5}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{1}{2} (5 \log (y) + \frac{5}{2} \log (z)))$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $\log (z)$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{1}{2} (5 \log (y) + \frac{5 \log (z)}{2}))$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{1}{2} (5 \log (y)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{2})$

Этап 10.3

Умножим $\frac{1}{2} (5 \log (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{5}{2} \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{2})$

Этап 10.3.2

Объединим $\frac{5}{2}$ и $\log (y)$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{5 \log (y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{2})$

Этап 10.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{5 \log (z)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{5 \log (y)}{2} + \frac{5 \log (z)}{2 \cdot 2})$

Этап 10.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\log (x) + \frac{5 \log (y)}{2} + \frac{5 \log (z)}{4})$

Этап 11

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \log (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{4}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log (x)$ .

$\frac{\log (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{4}$

Этап 12.2

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (y)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{5 \log (y)}{2}$ .

$\frac{\log (x)}{2} + \frac{5 \log (y)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{4}$

Этап 12.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\log (x)}{2} + \frac{5 \log (y)}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{4}$

Этап 12.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \log (z)}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{5 \log (z)}{4}$ .

$\frac{\log (x)}{2} + \frac{5 \log (y)}{4} + \frac{5 \log (z)}{2 \cdot 4}$

Этап 12.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{\log (x)}{2} + \frac{5 \log (y)}{4} + \frac{5 \log (z)}{8}$