Основы мат. анализа Примеры

$\log (\sqrt{\frac{x^{5} + 8}{(x^{2} + 8) {(x^{4} - 3)}^{4}}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{x^{5} + 8}{(x^{2} + 8) {(x^{4} - 3)}^{4}}}$ в виде ${(\frac{x^{5} + 8}{(x^{2} + 8) {(x^{4} - 3)}^{4}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log ({(\frac{x^{5} + 8}{(x^{2} + 8) {(x^{4} - 3)}^{4}})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 2

Развернем $\log ({(\frac{x^{5} + 8}{(x^{2} + 8) {(x^{4} - 3)}^{4}})}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \log (\frac{x^{5} + 8}{(x^{2} + 8) {(x^{4} - 3)}^{4}})$

Этап 3

Перепишем $\log (\frac{x^{5} + 8}{(x^{2} + 8) {(x^{4} - 3)}^{4}})$ в виде $\log (x^{5} + 8) - \log ((x^{2} + 8) {(x^{4} - 3)}^{4})$ .

$\frac{1}{2} (\log (x^{5} + 8) - \log ((x^{2} + 8) {(x^{4} - 3)}^{4}))$

Этап 4

Перепишем $\log ((x^{2} + 8) {(x^{4} - 3)}^{4})$ в виде $\log (x^{2} + 8) + \log ({(x^{4} - 3)}^{4})$ .

$\frac{1}{2} (\log (x^{5} + 8) - (\log (x^{2} + 8) + \log ({(x^{4} - 3)}^{4})))$

Этап 5

Развернем $\log ({(x^{4} - 3)}^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (\log (x^{5} + 8) - (\log (x^{2} + 8) + 4 \log (x^{4} - 3)))$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (\log (x^{5} + 8) - \log (x^{2} + 8) - (4 \log (x^{4} - 3)))$

Этап 6.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\log (x^{5} + 8) - \log (x^{2} + 8) - 4 \log (x^{4} - 3))$

Этап 7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \log (x^{5} + 8) + \frac{1}{2} (- \log (x^{2} + 8)) + \frac{1}{2} (- 4 \log (x^{4} - 3))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log (x^{5} + 8)$ .

$\frac{\log (x^{5} + 8)}{2} + \frac{1}{2} (- \log (x^{2} + 8)) + \frac{1}{2} (- 4 \log (x^{4} - 3))$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log (x^{2} + 8)$ .

$\frac{\log (x^{5} + 8)}{2} - \frac{\log (x^{2} + 8)}{2} + \frac{1}{2} (- 4 \log (x^{4} - 3))$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \log (x^{4} - 3)$ .

$\frac{\log (x^{5} + 8)}{2} - \frac{\log (x^{2} + 8)}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 \log (x^{4} - 3)))$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (x^{5} + 8)}{2} - \frac{\log (x^{2} + 8)}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 \log (x^{4} - 3)))$

Этап 8.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\log (x^{5} + 8)}{2} - \frac{\log (x^{2} + 8)}{2} - 2 \log (x^{4} - 3)$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log (x^{5} + 8) - \log (x^{2} + 8)}{2} - 2 \log (x^{4} - 3)$

Этап 10

Чтобы записать $- 2 \log (x^{4} - 3)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log (x^{5} + 8) - \log (x^{2} + 8)}{2} - 2 \log (x^{4} - 3) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 11

Объединим $- 2 \log (x^{4} - 3)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log (x^{5} + 8) - \log (x^{2} + 8)}{2} + \frac{- 2 \log (x^{4} - 3) \cdot 2}{2}$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log (x^{5} + 8) - \log (x^{2} + 8) - 2 \log (x^{4} - 3) \cdot 2}{2}$

Этап 13

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\log (x^{5} + 8) - \log (x^{2} + 8) - 4 \log (x^{4} - 3)}{2}$