Основы мат. анализа Примеры

$\log (\frac{2 x^{5} \sqrt[3]{1 - x}}{3 {(x + 1)}^{2}})$

Этап 1

Перепишем $\log (\frac{2 x^{5} \sqrt[3]{1 - x}}{3 {(x + 1)}^{2}})$ в виде $\log (2 x^{5} \sqrt[3]{1 - x}) - \log (3 {(x + 1)}^{2})$ .

$\log (2 x^{5} \sqrt[3]{1 - x}) - \log (3 {(x + 1)}^{2})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{1 - x}$ в виде ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log (2 x^{5} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (3 {(x + 1)}^{2})$

Этап 3

Перепишем $\log (2 x^{5} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$ в виде $\log (2 x^{5}) + \log ({(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\log (2 x^{5}) + \log ({(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (3 {(x + 1)}^{2})$

Этап 4

Перепишем $\log (2 x^{5})$ в виде $\log (2) + \log (x^{5})$ .

$\log (2) + \log (x^{5}) + \log ({(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (3 {(x + 1)}^{2})$

Этап 5

Развернем $\log (x^{5})$ , вынося $5$ из логарифма.

$\log (2) + 5 \log (x) + \log ({(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \log (3 {(x + 1)}^{2})$

Этап 6

Развернем $\log ({(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$ , вынося $\frac{1}{3}$ из логарифма.

$\log (2) + 5 \log (x) + \frac{1}{3} \log (1 - x) - \log (3 {(x + 1)}^{2})$

Этап 7

Перепишем $\log (3 {(x + 1)}^{2})$ в виде $\log (3) + \log ({(x + 1)}^{2})$ .

$\log (2) + 5 \log (x) + \frac{1}{3} \log (1 - x) - (\log (3) + \log ({(x + 1)}^{2}))$

Этап 8

Развернем $\log ({(x + 1)}^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\log (2) + 5 \log (x) + \frac{1}{3} \log (1 - x) - (\log (3) + 2 \log (x + 1))$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\log (1 - x)$ .

$\log (2) + 5 \log (x) + \frac{\log (1 - x)}{3} - (\log (3) + 2 \log (x + 1))$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (2) + 5 \log (x) + \frac{\log (1 - x)}{3} - \log (3) - (2 \log (x + 1))$

Этап 9.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\log (2) + 5 \log (x) + \frac{\log (1 - x)}{3} - \log (3) - 2 \log (x + 1)$

Этап 10

Чтобы записать $\log (2)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 \log (x) + \log (2) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\log (1 - x)}{3} - \log (3) - 2 \log (x + 1)$

Этап 11

Объединим $\log (2)$ и $\frac{3}{3}$ .

$5 \log (x) + \frac{\log (2) \cdot 3}{3} + \frac{\log (1 - x)}{3} - \log (3) - 2 \log (x + 1)$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \log (x) + \frac{\log (2) \cdot 3 + \log (1 - x)}{3} - \log (3) - 2 \log (x + 1)$

Этап 13

Перенесем $3$ влево от $\log (2)$ .

$5 \log (x) + \frac{3 \log (2) + \log (1 - x)}{3} - \log (3) - 2 \log (x + 1)$

Этап 14

Чтобы записать $- 2 \log (x + 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 \log (x) + \frac{3 \log (2) + \log (1 - x)}{3} - 2 \log (x + 1) \cdot \frac{3}{3} - \log (3)$

Этап 15

Объединим $- 2 \log (x + 1)$ и $\frac{3}{3}$ .

$5 \log (x) + \frac{3 \log (2) + \log (1 - x)}{3} + \frac{- 2 \log (x + 1) \cdot 3}{3} - \log (3)$

Этап 16

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \log (x) + \frac{3 \log (2) + \log (1 - x) - 2 \log (x + 1) \cdot 3}{3} - \log (3)$

Этап 17

Умножим $3$ на $- 2$ .

$5 \log (x) + \frac{3 \log (2) + \log (1 - x) - 6 \log (x + 1)}{3} - \log (3)$