Основы мат. анализа Примеры

$\log_{b} (\sqrt[4]{\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}}}$ в виде ${(\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}})}^{\frac{1}{4}})$

Этап 2

Развернем $\log_{b} ({(\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}})}^{\frac{1}{4}})$ , вынося $\frac{1}{4}$ из логарифма.

$\frac{1}{4} \log_{b} (\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}})$

Этап 3

Перепишем $\log_{b} (\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}})$ в виде $\log_{b} (x^{5} b^{6}) - \log_{b} (y^{4} z^{10})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{b} (x^{5} b^{6}) - \log_{b} (y^{4} z^{10}))$

Этап 4

Перепишем $\log_{b} (x^{5} b^{6})$ в виде $\log_{b} (x^{5}) + \log_{b} (b^{6})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{b} (x^{5}) + \log_{b} (b^{6}) - \log_{b} (y^{4} z^{10}))$

Этап 5

Развернем $\log_{b} (x^{5})$ , вынося $5$ из логарифма.

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + \log_{b} (b^{6}) - \log_{b} (y^{4} z^{10}))$

Этап 6

Развернем $\log_{b} (b^{6})$ , вынося $6$ из логарифма.

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 \log_{b} (b) - \log_{b} (y^{4} z^{10}))$

Этап 7

Логарифм $b$ по основанию $b$ равен $1$ .

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 \cdot 1 - \log_{b} (y^{4} z^{10}))$

Этап 8

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - \log_{b} (y^{4} z^{10}))$

Этап 9

Перепишем $\log_{b} (y^{4} z^{10})$ в виде $\log_{b} (y^{4}) + \log_{b} (z^{10})$ .

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - (\log_{b} (y^{4}) + \log_{b} (z^{10})))$

Этап 10

Развернем $\log_{b} (y^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - (4 \log_{b} (y) + \log_{b} (z^{10})))$

Этап 11

Развернем $\log_{b} (z^{10})$ , вынося $10$ из логарифма.

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - (4 \log_{b} (y) + 10 \log_{b} (z)))$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - (4 \log_{b} (y)) - (10 \log_{b} (z)))$

Этап 12.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - 4 \log_{b} (y) - (10 \log_{b} (z)))$

Этап 12.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - 4 \log_{b} (y) - 10 \log_{b} (z))$

Этап 13

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x)) + \frac{1}{4} \cdot 6 + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} \log_{b} (x) + \frac{1}{4} \cdot 6 + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Этап 14.1.2

Объединим $\frac{5}{4}$ и $\log_{b} (x)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot 6 + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Этап 14.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 6 + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Этап 14.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Этап 14.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Этап 14.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Этап 14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Этап 14.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \log_{b} (y)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4} (4 (- \log_{b} (y))) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Этап 14.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4} (4 (- \log_{b} (y))) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Этап 14.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Этап 14.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{1}{2 (2)} (- 10 \log_{b} (z))$

Этап 14.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 10 \log_{b} (z)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 5 \log_{b} (z)))$

Этап 14.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 5 \log_{b} (z)))$

Этап 14.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{1}{2} (- 5 \log_{b} (z))$

Этап 14.6

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{- 5}{2} \log_{b} (z)$

Этап 14.7

Объединим $\frac{- 5}{2}$ и $\log_{b} (z)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{- 5 \log_{b} (z)}{2}$

Этап 15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) - \frac{5 \log_{b} (z)}{2}$