Основы мат. анализа Примеры

$\log_{b} (\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}}}$ в виде ${(\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}})}^{\frac{1}{3}})$

Этап 2

Развернем $\log_{b} ({(\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}})}^{\frac{1}{3}})$ , вынося $\frac{1}{3}$ из логарифма.

$\frac{1}{3} \log_{b} (\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}})$

Этап 3

Перепишем $\log_{b} (\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}})$ в виде $\log_{b} (x^{2}) - \log_{b} (y^{4} z^{7})$ .

$\frac{1}{3} (\log_{b} (x^{2}) - \log_{b} (y^{4} z^{7}))$

Этап 4

Развернем $\log_{b} (x^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - \log_{b} (y^{4} z^{7}))$

Этап 5

Перепишем $\log_{b} (y^{4} z^{7})$ в виде $\log_{b} (y^{4}) + \log_{b} (z^{7})$ .

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - (\log_{b} (y^{4}) + \log_{b} (z^{7})))$

Этап 6

Развернем $\log_{b} (y^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - (4 \log_{b} (y) + \log_{b} (z^{7})))$

Этап 7

Развернем $\log_{b} (z^{7})$ , вынося $7$ из логарифма.

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - (4 \log_{b} (y) + 7 \log_{b} (z)))$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - (4 \log_{b} (y)) - (7 \log_{b} (z)))$

Этап 8.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - 4 \log_{b} (y) - (7 \log_{b} (z)))$

Этап 8.3

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - 4 \log_{b} (y) - 7 \log_{b} (z))$

Этап 9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x)) + \frac{1}{3} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{3} (- 7 \log_{b} (z))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \log_{b} (x) + \frac{1}{3} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{3} (- 7 \log_{b} (z))$

Этап 10.1.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\log_{b} (x)$ .

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} + \frac{1}{3} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{3} (- 7 \log_{b} (z))$

Этап 10.2

Умножим $\frac{1}{3} (- 4 \log_{b} (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} + \frac{- 4}{3} \log_{b} (y) + \frac{1}{3} (- 7 \log_{b} (z))$

Этап 10.2.2

Объединим $\frac{- 4}{3}$ и $\log_{b} (y)$ .

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} + \frac{- 4 \log_{b} (y)}{3} + \frac{1}{3} (- 7 \log_{b} (z))$

Этап 10.3

Умножим $\frac{1}{3} (- 7 \log_{b} (z))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} + \frac{- 4 \log_{b} (y)}{3} + \frac{- 7}{3} \log_{b} (z)$

Этап 10.3.2

Объединим $\frac{- 7}{3}$ и $\log_{b} (z)$ .

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} + \frac{- 4 \log_{b} (y)}{3} + \frac{- 7 \log_{b} (z)}{3}$

Этап 11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} - \frac{4 \log_{b} (y)}{3} + \frac{- 7 \log_{b} (z)}{3}$

Этап 11.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} - \frac{4 \log_{b} (y)}{3} - \frac{7 \log_{b} (z)}{3}$