Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{x^{8} \sqrt{x^{2} + 8}}{{(x + 8)}^{2}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{x^{8} \sqrt{x^{2} + 8}}{{(x + 8)}^{2}})$ в виде $\ln (x^{8} \sqrt{x^{2} + 8}) - \ln ({(x + 8)}^{2})$ .

$\ln (x^{8} \sqrt{x^{2} + 8}) - \ln ({(x + 8)}^{2})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 8}$ в виде ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x^{8} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(x + 8)}^{2})$

Этап 3

Развернем $\ln ({(x + 8)}^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\ln (x^{8} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (x + 8))$

Этап 4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (x^{8} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (x + 8)$

Этап 5

Перепишем $\ln (x^{8} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})$ в виде $\ln (x^{8}) + \ln ({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (x^{8}) + \ln ({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (x + 8)$

Этап 6

Развернем $\ln (x^{8})$ , вынося $8$ из логарифма.

$8 \ln (x) + \ln ({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (x + 8)$

Этап 7

Развернем $\ln ({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$8 \ln (x) + \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 8) - 2 \ln (x + 8)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (x^{2} + 8)$ .

$8 \ln (x) + \frac{\ln (x^{2} + 8)}{2} - 2 \ln (x + 8)$

Этап 9

Чтобы записать $8 \ln (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$8 \ln (x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x^{2} + 8)}{2} - 2 \ln (x + 8)$

Этап 10

Объединим $8 \ln (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 \ln (x) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x^{2} + 8)}{2} - 2 \ln (x + 8)$

Этап 11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 \ln (x) \cdot 2 + \ln (x^{2} + 8)}{2} - 2 \ln (x + 8)$

Этап 12

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16 \ln (x) + \ln (x^{2} + 8)}{2} - 2 \ln (x + 8)$

Этап 13

Чтобы записать $- 2 \ln (x + 8)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{16 \ln (x) + \ln (x^{2} + 8)}{2} - 2 \ln (x + 8) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 14

Объединим $- 2 \ln (x + 8)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{16 \ln (x) + \ln (x^{2} + 8)}{2} + \frac{- 2 \ln (x + 8) \cdot 2}{2}$

Этап 15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 \ln (x) + \ln (x^{2} + 8) - 2 \ln (x + 8) \cdot 2}{2}$

Этап 16

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{16 \ln (x) + \ln (x^{2} + 8) - 4 \ln (x + 8)}{2}$