Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}}{4 x^{2 + 1}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}}{4 x^{2 + 1}})$ в виде $\ln (\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}) - \ln (4 x^{2 + 1})$ .

$\ln (\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}) - \ln (4 x^{2 + 1})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}$ в виде ${(4 x^{2 - 1})}^{\frac{1}{5}}$ .

$\ln ({(4 x^{2 - 1})}^{\frac{1}{5}}) - \ln (4 x^{2 + 1})$

Этап 3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\ln ({(4 x^{1})}^{\frac{1}{5}}) - \ln (4 x^{2 + 1})$

Этап 4

Развернем $\ln ({(4 x^{1})}^{\frac{1}{5}})$ , вынося $\frac{1}{5}$ из логарифма.

$\frac{1}{5} \ln (4 x^{1}) - \ln (4 x^{2 + 1})$

Этап 5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{5} \ln (4 x^{1}) - \ln (4 x^{3})$

Этап 6

Перепишем $\ln (4 x^{1})$ в виде $\ln (4) + \ln (x^{1})$ .

$\frac{1}{5} (\ln (4) + \ln (x^{1})) - \ln (4 x^{3})$

Этап 7

Развернем $\ln (x^{1})$ , вынося $1$ из логарифма.

$\frac{1}{5} (\ln (4) + 1 \ln (x)) - \ln (4 x^{3})$

Этап 8

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{5} (\ln (4) + \ln (x)) - \ln (4 x^{3})$

Этап 9

Перепишем $\ln (4 x^{3})$ в виде $\ln (4) + \ln (x^{3})$ .

$\frac{1}{5} (\ln (4) + \ln (x)) - (\ln (4) + \ln (x^{3}))$

Этап 10

Развернем $\ln (x^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\frac{1}{5} (\ln (4) + \ln (x)) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Этап 11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$\frac{1}{5} (\ln (2^{2}) + \ln (x)) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Этап 11.1.2

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{1}{5} (2 \ln (2) + \ln (x)) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{5} (2 \ln (2)) + \frac{1}{5} \ln (x) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Этап 11.3

Умножим $\frac{1}{5} (2 \ln (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} \ln (2) + \frac{1}{5} \ln (x) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Этап 11.3.2

Объединим $\frac{2}{5}$ и $\ln (2)$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{1}{5} \ln (x) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Этап 11.4

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Этап 11.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - (\ln (2^{2}) + 3 \ln (x))$

Этап 11.5.2

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - (2 \ln (2) + 3 \ln (x))$

Этап 11.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - (2 \ln (2)) - (3 \ln (x))$

Этап 11.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 2 \ln (2) - (3 \ln (x))$

Этап 11.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 2 \ln (2) - 3 \ln (x)$

Этап 12

Чтобы записать $- 2 \ln (2)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} - 2 \ln (2) \cdot \frac{5}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Этап 13

Объединим $- 2 \ln (2)$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{- 2 \ln (2) \cdot 5}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Этап 14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \ln (2) - 2 \ln (2) \cdot 5}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Умножим $5$ на $- 2$ .

$\frac{2 \ln (2) - 10 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Этап 15.1.2

Вычтем $10 \ln (2)$ из $2 \ln (2)$ .

$\frac{- 8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Этап 15.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Этап 16

Чтобы записать $- 3 \ln (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x) \cdot \frac{5}{5}$

Этап 17

Объединим $- 3 \ln (x)$ и $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} + \frac{- 3 \ln (x) \cdot 5}{5}$

Этап 18

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x) - 3 \ln (x) \cdot 5}{5}$

Этап 19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 8 \ln (2) + \ln (x) - 3 \ln (x) \cdot 5}{5}$

Этап 20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Умножим $5$ на $- 3$ .

$\frac{- 8 \ln (2) + \ln (x) - 15 \ln (x)}{5}$

Этап 20.2

Вычтем $15 \ln (x)$ из $\ln (x)$ .

$\frac{- 8 \ln (2) - 14 \ln (x)}{5}$

Этап 21

Вынесем множитель $- 2$ из $- 8 \ln (2) - 14 \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 8 \ln (2)$ .

$\frac{- 2 (4 \ln (2)) - 14 \ln (x)}{5}$

Этап 21.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 14 \ln (x)$ .

$\frac{- 2 (4 \ln (2)) - 2 (7 \ln (x))}{5}$

Этап 21.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (4 \ln (2)) - 2 (7 \ln (x))$ .

$\frac{- 2 (4 \ln (2) + 7 \ln (x))}{5}$

Этап 22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (4 \ln (2) + 7 \ln (x))}{5}$