Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y - 60 = 0$

Этап 1

Добавим $60$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$

Этап 2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 2$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (4)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{4}$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{4}{16}$

Этап 2.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$e = 0 - \frac{4 (1)}{16}$

Этап 2.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$

Этап 3

Подставим $4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$ вместо $4 x^{2} - 2 x$ в уравнение $4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4} + 3 y^{2} + 5 y = 60$

Этап 4

Перенесем $- \frac{1}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{1}{4}$ к обеим частям.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 y^{2} + 5 y = 60 + \frac{1}{4}$

Этап 5

Составим полный квадрат для $3 y^{2} + 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 3$

$b = 5$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 3}$

Этап 5.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$d = \frac{5}{6}$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 3}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$e = 0 - \frac{25}{12}$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $\frac{25}{12}$ из $0$ .

$e = - \frac{25}{12}$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$ .

$3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$

Этап 6

Подставим $3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$ вместо $3 y^{2} + 5 y$ в уравнение $4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12} = 60 + \frac{1}{4}$

Этап 7

Перенесем $- \frac{25}{12}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{25}{12}$ к обеим частям.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = 60 + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Этап 8

Упростим $60 + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Запишем $60$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60}{1} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Этап 8.1.2

Умножим $\frac{60}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Этап 8.1.3

Умножим $\frac{60}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Этап 8.1.4

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{12}$

Этап 8.1.5

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{25}{12}$

Этап 8.1.6

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 3$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{25}{12}$

Этап 8.1.7

Умножим $3$ на $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{12} + \frac{25}{12}$

Этап 8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12 + 3 + 25}{12}$

Этап 8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $60$ на $12$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{720 + 3 + 25}{12}$

Этап 8.3.2

Добавим $720$ и $3$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{723 + 25}{12}$

Этап 8.3.3

Добавим $723$ и $25$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{748}{12}$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $748$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $4$ из $748$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 (187)}{12}$

Этап 8.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 \cdot 187}{4 \cdot 3}$

Этап 8.4.2.2

Сократим общий множитель.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 \cdot 187}{4 \cdot 3}$

Этап 8.4.2.3

Перепишем это выражение.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{187}{3}$

Этап 9

Разделим каждый член на $\frac{187}{3}$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(x - \frac{1}{4})}^{2}}{\frac{187}{3}} + \frac{3 {(y + \frac{5}{6})}^{2}}{\frac{187}{3}} = \frac{\frac{187}{3}}{\frac{187}{3}}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - \frac{1}{4})}^{2}}{\frac{187}{12}} + \frac{{(y + \frac{5}{6})}^{2}}{\frac{187}{9}} = 1$