Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{\sqrt{x} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{\sqrt{x} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}})$ в виде $\ln (\sqrt{x} (x + 1)) - \ln ({(x - 1)}^{2})$ .

$\ln (\sqrt{x} (x + 1)) - \ln ({(x - 1)}^{2})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} (x + 1)) - \ln ({(x - 1)}^{2})$

Этап 3

Развернем $\ln ({(x - 1)}^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\ln (x^{\frac{1}{2}} (x + 1)) - (2 \ln (x - 1))$

Этап 4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} (x + 1)) - 2 \ln (x - 1)$

Этап 5

Перепишем $\ln (x^{\frac{1}{2}} (x + 1))$ в виде $\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (x + 1)$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (x + 1) - 2 \ln (x - 1)$

Этап 6

Развернем $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \ln (x) + \ln (x + 1) - 2 \ln (x - 1)$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{2} + \ln (x + 1) - 2 \ln (x - 1)$

Этап 8

Чтобы записать $\ln (x + 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x)}{2} + \ln (x + 1) \cdot \frac{2}{2} - 2 \ln (x - 1)$

Этап 9

Объединим $\ln (x + 1)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x)}{2} + \frac{\ln (x + 1) \cdot 2}{2} - 2 \ln (x - 1)$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (x) + \ln (x + 1) \cdot 2}{2} - 2 \ln (x - 1)$

Этап 11

Перенесем $2$ влево от $\ln (x + 1)$ .

$\frac{\ln (x) + 2 \ln (x + 1)}{2} - 2 \ln (x - 1)$

Этап 12

Чтобы записать $- 2 \ln (x - 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) + 2 \ln (x + 1)}{2} - 2 \ln (x - 1) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 13

Объединим $- 2 \ln (x - 1)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) + 2 \ln (x + 1)}{2} + \frac{- 2 \ln (x - 1) \cdot 2}{2}$

Этап 14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (x) + 2 \ln (x + 1) - 2 \ln (x - 1) \cdot 2}{2}$

Этап 15

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\ln (x) + 2 \ln (x + 1) - 4 \ln (x - 1)}{2}$