Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{7 x \sqrt{1 + 6 x}}{{(x - 8)}^{4}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{7 x \sqrt{1 + 6 x}}{{(x - 8)}^{4}})$ в виде $\ln (7 x \sqrt{1 + 6 x}) - \ln ({(x - 8)}^{4})$ .

$\ln (7 x \sqrt{1 + 6 x}) - \ln ({(x - 8)}^{4})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + 6 x}$ в виде ${(1 + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (7 x {(1 + 6 x)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(x - 8)}^{4})$

Этап 3

Развернем $\ln ({(x - 8)}^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\ln (7 x {(1 + 6 x)}^{\frac{1}{2}}) - (4 \ln (x - 8))$

Этап 4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\ln (7 x {(1 + 6 x)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \ln (x - 8)$

Этап 5

Перепишем $\ln (7 x {(1 + 6 x)}^{\frac{1}{2}})$ в виде $\ln (7 x) + \ln ({(1 + 6 x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (7 x) + \ln ({(1 + 6 x)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \ln (x - 8)$

Этап 6

Перепишем $\ln (7 x)$ в виде $\ln (7) + \ln (x)$ .

$\ln (7) + \ln (x) + \ln ({(1 + 6 x)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \ln (x - 8)$

Этап 7

Развернем $\ln ({(1 + 6 x)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\ln (7) + \ln (x) + \frac{1}{2} \ln (1 + 6 x) - 4 \ln (x - 8)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (1 + 6 x)$ .

$\ln (7) + \ln (x) + \frac{\ln (1 + 6 x)}{2} - 4 \ln (x - 8)$

Этап 9

Чтобы записать $\ln (7)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (7) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (1 + 6 x)}{2} + \ln (x) - 4 \ln (x - 8)$

Этап 10

Объединим $\ln (7)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (7) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (1 + 6 x)}{2} + \ln (x) - 4 \ln (x - 8)$

Этап 11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (7) \cdot 2 + \ln (1 + 6 x)}{2} + \ln (x) - 4 \ln (x - 8)$

Этап 12

Перенесем $2$ влево от $\ln (7)$ .

$\frac{2 \ln (7) + \ln (1 + 6 x)}{2} + \ln (x) - 4 \ln (x - 8)$

Этап 13

Чтобы записать $- 4 \ln (x - 8)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \ln (7) + \ln (1 + 6 x)}{2} - 4 \ln (x - 8) \cdot \frac{2}{2} + \ln (x)$

Этап 14

Объединим $- 4 \ln (x - 8)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \ln (7) + \ln (1 + 6 x)}{2} + \frac{- 4 \ln (x - 8) \cdot 2}{2} + \ln (x)$

Этап 15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \ln (7) + \ln (1 + 6 x) - 4 \ln (x - 8) \cdot 2}{2} + \ln (x)$

Этап 16

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{2 \ln (7) + \ln (1 + 6 x) - 8 \ln (x - 8)}{2} + \ln (x)$