Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}}{(x - 2) \sqrt[3]{x}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}}{(x - 2) \sqrt[3]{x}})$ в виде $\ln (3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) \sqrt[3]{x})$ .

$\ln (3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) \sqrt[3]{x})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Этап 3

Перепишем $\ln (3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4})$ в виде $\ln (3 e^{5 x - 7}) + \ln ({(3 x + 1)}^{4})$ .

$\ln (3 e^{5 x - 7}) + \ln ({(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Этап 4

Перепишем $\ln (3 e^{5 x - 7})$ в виде $\ln (3) + \ln (e^{5 x - 7})$ .

$\ln (3) + \ln (e^{5 x - 7}) + \ln ({(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5

Развернем $\ln (e^{5 x - 7})$ , вынося $5 x - 7$ из логарифма.

$\ln (3) + (5 x - 7) \ln (e) + \ln ({(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6

Развернем $\ln ({(3 x + 1)}^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\ln (3) + (5 x - 7) \ln (e) + 4 \ln (3 x + 1) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Этап 7

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (3) + (5 x - 7) \cdot 1 + 4 \ln (3 x + 1) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Этап 8

Умножим $5 x - 7$ на $1$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Этап 9

Перепишем $\ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$ в виде $\ln (x - 2) + \ln (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (x - 2) + \ln (x^{\frac{1}{3}}))$

Этап 10

Развернем $\ln (x^{\frac{1}{3}})$ , вынося $\frac{1}{3}$ из логарифма.

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (x - 2) + \frac{1}{3} \ln (x))$

Этап 11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (x)$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (x - 2) + \frac{\ln (x)}{3})$

Этап 11.2

Чтобы записать $\ln (x - 2)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (x - 2) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (x)}{3})$

Этап 11.3

Объединим $\ln (x - 2)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\frac{\ln (x - 2) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (x)}{3})$

Этап 11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - \frac{\ln (x - 2) \cdot 3 + \ln (x)}{3}$

Этап 11.5

Перенесем $3$ влево от $\ln (x - 2)$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - \frac{3 \ln (x - 2) + \ln (x)}{3}$

Этап 12

Чтобы записать $4 \ln (3 x + 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) \cdot \frac{3}{3} - \frac{3 \ln (x - 2) + \ln (x)}{3}$

Этап 13

Объединим $4 \ln (3 x + 1)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{4 \ln (3 x + 1) \cdot 3}{3} - \frac{3 \ln (x - 2) + \ln (x)}{3}$

Этап 14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{4 \ln (3 x + 1) \cdot 3 - (3 \ln (x - 2) + \ln (x))}{3}$

Этап 15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $3$ на $4$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{12 \ln (3 x + 1) - (3 \ln (x - 2) + \ln (x))}{3}$

Этап 15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{12 \ln (3 x + 1) - (3 \ln (x - 2)) - \ln (x)}{3}$

Этап 15.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{12 \ln (3 x + 1) - 3 \ln (x - 2) - \ln (x)}{3}$