Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{4 x^{3}}{\sqrt{y} {(x - 2)}^{6}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{4 x^{3}}{\sqrt{y} {(x - 2)}^{6}})$ в виде $\ln (4 x^{3}) - \ln (\sqrt{y} {(x - 2)}^{6})$ .

$\ln (4 x^{3}) - \ln (\sqrt{y} {(x - 2)}^{6})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (4 x^{3}) - \ln (y^{\frac{1}{2}} {(x - 2)}^{6})$

Этап 3

Перепишем $\ln (4 x^{3})$ в виде $\ln (4) + \ln (x^{3})$ .

$\ln (4) + \ln (x^{3}) - \ln (y^{\frac{1}{2}} {(x - 2)}^{6})$

Этап 4

Развернем $\ln (x^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\ln (4) + 3 \ln (x) - \ln (y^{\frac{1}{2}} {(x - 2)}^{6})$

Этап 5

Перепишем $\ln (y^{\frac{1}{2}} {(x - 2)}^{6})$ в виде $\ln (y^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(x - 2)}^{6})$ .

$\ln (4) + 3 \ln (x) - (\ln (y^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(x - 2)}^{6}))$

Этап 6

Развернем $\ln (y^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\ln (4) + 3 \ln (x) - (\frac{1}{2} \ln (y) + \ln ({(x - 2)}^{6}))$

Этап 7

Развернем $\ln ({(x - 2)}^{6})$ , вынося $6$ из логарифма.

$\ln (4) + 3 \ln (x) - (\frac{1}{2} \ln (y) + 6 \ln (x - 2))$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$\ln (2^{2}) + 3 \ln (x) - (\frac{1}{2} \ln (y) + 6 \ln (x - 2))$

Этап 8.2

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$2 \ln (2) + 3 \ln (x) - (\frac{1}{2} \ln (y) + 6 \ln (x - 2))$

Этап 8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (y)$ .

$2 \ln (2) + 3 \ln (x) - (\frac{\ln (y)}{2} + 6 \ln (x - 2))$

Этап 8.4

Чтобы записать $6 \ln (x - 2)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (2) + 3 \ln (x) - (\frac{\ln (y)}{2} + 6 \ln (x - 2) \cdot \frac{2}{2})$

Этап 8.5

Объединим $6 \ln (x - 2)$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (2) + 3 \ln (x) - (\frac{\ln (y)}{2} + \frac{6 \ln (x - 2) \cdot 2}{2})$

Этап 8.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \ln (2) + 3 \ln (x) - \frac{\ln (y) + 6 \ln (x - 2) \cdot 2}{2}$

Этап 8.7

Умножим $2$ на $6$ .

$2 \ln (2) + 3 \ln (x) - \frac{\ln (y) + 12 \ln (x - 2)}{2}$