Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{x^{3} \sqrt{x + 8}}{\sqrt[7]{x^{2} + 2 x + 1}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{x^{3} \sqrt{x + 8}}{\sqrt[7]{x^{2} + 2 x + 1}})$ в виде $\ln (x^{3} \sqrt{x + 8}) - \ln (\sqrt[7]{x^{2} + 2 x + 1})$ .

$\ln (x^{3} \sqrt{x + 8}) - \ln (\sqrt[7]{x^{2} + 2 x + 1})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 8}$ в виде ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x^{3} {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (\sqrt[7]{x^{2} + 2 x + 1})$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{x^{2} + 2 x + 1}$ в виде ${(x^{2} + 2 x + 1)}^{\frac{1}{7}}$ .

$\ln (x^{3} {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(x^{2} + 2 x + 1)}^{\frac{1}{7}})$

Этап 4

Развернем $\ln ({(x^{2} + 2 x + 1)}^{\frac{1}{7}})$ , вынося $\frac{1}{7}$ из логарифма.

$\ln (x^{3} {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{7} \ln (x^{2} + 2 x + 1))$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{7}$ и $\ln (x^{2} + 2 x + 1)$ .

$\ln (x^{3} {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7}$

Этап 6

Перепишем $\ln (x^{3} {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})$ в виде $\ln (x^{3}) + \ln ({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (x^{3}) + \ln ({(x + 8)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7}$

Этап 7

Развернем $\ln (x^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$3 \ln (x) + \ln ({(x + 8)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7}$

Этап 8

Развернем $\ln ({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$3 \ln (x) + \frac{1}{2} \ln (x + 8) - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7}$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (x + 8)$ .

$3 \ln (x) + \frac{\ln (x + 8)}{2} - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7}$

Этап 10

Чтобы записать $3 \ln (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 \ln (x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x + 8)}{2} - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7}$

Этап 11

Объединим $3 \ln (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \ln (x) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x + 8)}{2} - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7}$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \ln (x) \cdot 2 + \ln (x + 8)}{2} - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7}$

Этап 13

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 \ln (x) + \ln (x + 8)}{2} - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7}$

Этап 14

Чтобы записать $\frac{6 \ln (x) + \ln (x + 8)}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6 \ln (x) + \ln (x + 8)}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7}$

Этап 15

Чтобы записать $- \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 \ln (x) + \ln (x + 8)}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 16

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $14$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $\frac{6 \ln (x) + \ln (x + 8)}{2}$ на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{(6 \ln (x) + \ln (x + 8)) \cdot 7}{2 \cdot 7} - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 16.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{(6 \ln (x) + \ln (x + 8)) \cdot 7}{14} - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 16.3

Умножим $\frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1)}{7}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(6 \ln (x) + \ln (x + 8)) \cdot 7}{14} - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1) \cdot 2}{7 \cdot 2}$

Этап 16.4

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{(6 \ln (x) + \ln (x + 8)) \cdot 7}{14} - \frac{\ln (x^{2} + 2 x + 1) \cdot 2}{14}$

Этап 17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(6 \ln (x) + \ln (x + 8)) \cdot 7 - \ln (x^{2} + 2 x + 1) \cdot 2}{14}$

Этап 18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 \ln (x) \cdot 7 + \ln (x + 8) \cdot 7 - \ln (x^{2} + 2 x + 1) \cdot 2}{14}$

Этап 18.2

Умножим $7$ на $6$ .

$\frac{42 \ln (x) + \ln (x + 8) \cdot 7 - \ln (x^{2} + 2 x + 1) \cdot 2}{14}$

Этап 18.3

Перенесем $7$ влево от $\ln (x + 8)$ .

$\frac{42 \ln (x) + 7 \cdot \ln (x + 8) - \ln (x^{2} + 2 x + 1) \cdot 2}{14}$

Этап 18.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{42 \ln (x) + 7 \ln (x + 8) - 2 \ln (x^{2} + 2 x + 1)}{14}$