Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{x^{4} \sqrt{x^{2} - 4}}{\sqrt[3]{x^{4} + 5}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{x^{4} \sqrt{x^{2} - 4}}{\sqrt[3]{x^{4} + 5}})$ в виде $\ln (x^{4} \sqrt{x^{2} - 4}) - \ln (\sqrt[3]{x^{4} + 5})$ .

$\ln (x^{4} \sqrt{x^{2} - 4}) - \ln (\sqrt[3]{x^{4} + 5})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 4}$ в виде ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x^{4} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (\sqrt[3]{x^{4} + 5})$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{4} + 5}$ в виде ${(x^{4} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (x^{4} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(x^{4} + 5)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 4

Развернем $\ln ({(x^{4} + 5)}^{\frac{1}{3}})$ , вынося $\frac{1}{3}$ из логарифма.

$\ln (x^{4} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{3} \ln (x^{4} + 5))$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (x^{4} + 5)$ .

$\ln (x^{4} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3}$

Этап 6

Перепишем $\ln (x^{4} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})$ в виде $\ln (x^{4}) + \ln ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (x^{4}) + \ln ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3}$

Этап 7

Развернем $\ln (x^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$4 \ln (x) + \ln ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3}$

Этап 8

Развернем $\ln ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$4 \ln (x) + \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 4) - \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3}$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (x^{2} - 4)$ .

$4 \ln (x) + \frac{\ln (x^{2} - 4)}{2} - \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3}$

Этап 10

Чтобы записать $4 \ln (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 \ln (x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x^{2} - 4)}{2} - \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3}$

Этап 11

Объединим $4 \ln (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \ln (x) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x^{2} - 4)}{2} - \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3}$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \ln (x) \cdot 2 + \ln (x^{2} - 4)}{2} - \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3}$

Этап 13

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8 \ln (x) + \ln (x^{2} - 4)}{2} - \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3}$

Этап 14

Чтобы записать $\frac{8 \ln (x) + \ln (x^{2} - 4)}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \ln (x) + \ln (x^{2} - 4)}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3}$

Этап 15

Чтобы записать $- \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 \ln (x) + \ln (x^{2} - 4)}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 16

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $\frac{8 \ln (x) + \ln (x^{2} - 4)}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(8 \ln (x) + \ln (x^{2} - 4)) \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 16.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{(8 \ln (x) + \ln (x^{2} - 4)) \cdot 3}{6} - \frac{\ln (x^{4} + 5)}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 16.3

Умножим $\frac{\ln (x^{4} + 5)}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(8 \ln (x) + \ln (x^{2} - 4)) \cdot 3}{6} - \frac{\ln (x^{4} + 5) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 16.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{(8 \ln (x) + \ln (x^{2} - 4)) \cdot 3}{6} - \frac{\ln (x^{4} + 5) \cdot 2}{6}$

Этап 17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(8 \ln (x) + \ln (x^{2} - 4)) \cdot 3 - \ln (x^{4} + 5) \cdot 2}{6}$

Этап 18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 \ln (x) \cdot 3 + \ln (x^{2} - 4) \cdot 3 - \ln (x^{4} + 5) \cdot 2}{6}$

Этап 18.2

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{24 \ln (x) + \ln (x^{2} - 4) \cdot 3 - \ln (x^{4} + 5) \cdot 2}{6}$

Этап 18.3

Перенесем $3$ влево от $\ln (x^{2} - 4)$ .

$\frac{24 \ln (x) + 3 \cdot \ln (x^{2} - 4) - \ln (x^{4} + 5) \cdot 2}{6}$

Этап 18.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{24 \ln (x) + 3 \ln (x^{2} - 4) - 2 \ln (x^{4} + 5)}{6}$