Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{{(x - 2)}^{5} \sqrt{x + 1}}{x^{4}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{{(x - 2)}^{5} \sqrt{x + 1}}{x^{4}})$ в виде $\ln ({(x - 2)}^{5} \sqrt{x + 1}) - \ln (x^{4})$ .

$\ln ({(x - 2)}^{5} \sqrt{x + 1}) - \ln (x^{4})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(x - 2)}^{5} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (x^{4})$

Этап 3

Развернем $\ln (x^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\ln ({(x - 2)}^{5} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - (4 \ln (x))$

Этап 4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\ln ({(x - 2)}^{5} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \ln (x)$

Этап 5

Перепишем $\ln ({(x - 2)}^{5} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ в виде $\ln ({(x - 2)}^{5}) + \ln ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln ({(x - 2)}^{5}) + \ln ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \ln (x)$

Этап 6

Развернем $\ln ({(x - 2)}^{5})$ , вынося $5$ из логарифма.

$5 \ln (x - 2) + \ln ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \ln (x)$

Этап 7

Развернем $\ln ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$5 \ln (x - 2) + \frac{1}{2} \ln (x + 1) - 4 \ln (x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (x + 1)$ .

$5 \ln (x - 2) + \frac{\ln (x + 1)}{2} - 4 \ln (x)$

Этап 9

Чтобы записать $5 \ln (x - 2)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$5 \ln (x - 2) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x + 1)}{2} - 4 \ln (x)$

Этап 10

Объединим $5 \ln (x - 2)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 \ln (x - 2) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x + 1)}{2} - 4 \ln (x)$

Этап 11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 \ln (x - 2) \cdot 2 + \ln (x + 1)}{2} - 4 \ln (x)$

Этап 12

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 \ln (x - 2) + \ln (x + 1)}{2} - 4 \ln (x)$