Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{{(x - 1)}^{4} y^{3}}{\sqrt{z} (1 + x)})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{{(x - 1)}^{4} y^{3}}{\sqrt{z} (1 + x)})$ в виде $\ln ({(x - 1)}^{4} y^{3}) - \ln (\sqrt{z} (1 + x))$ .

$\ln ({(x - 1)}^{4} y^{3}) - \ln (\sqrt{z} (1 + x))$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{z}$ в виде $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(x - 1)}^{4} y^{3}) - \ln (z^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Этап 3

Перепишем $\ln ({(x - 1)}^{4} y^{3})$ в виде $\ln ({(x - 1)}^{4}) + \ln (y^{3})$ .

$\ln ({(x - 1)}^{4}) + \ln (y^{3}) - \ln (z^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Этап 4

Развернем $\ln ({(x - 1)}^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$4 \ln (x - 1) + \ln (y^{3}) - \ln (z^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Этап 5

Развернем $\ln (y^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - \ln (z^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Этап 6

Перепишем $\ln (z^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ в виде $\ln (z^{\frac{1}{2}}) + \ln (1 + x)$ .

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - (\ln (z^{\frac{1}{2}}) + \ln (1 + x))$

Этап 7

Развернем $\ln (z^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - (\frac{1}{2} \ln (z) + \ln (1 + x))$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (z)$ .

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - (\frac{\ln (z)}{2} + \ln (1 + x))$

Этап 8.2

Чтобы записать $\ln (1 + x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - (\frac{\ln (z)}{2} + \ln (1 + x) \cdot \frac{2}{2})$

Этап 8.3

Объединим $\ln (1 + x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - (\frac{\ln (z)}{2} + \frac{\ln (1 + x) \cdot 2}{2})$

Этап 8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - \frac{\ln (z) + \ln (1 + x) \cdot 2}{2}$

Этап 8.5

Перенесем $2$ влево от $\ln (1 + x)$ .

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - \frac{\ln (z) + 2 \ln (1 + x)}{2}$

Этап 9

Чтобы записать $4 \ln (x - 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 \ln (y) + 4 \ln (x - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (z) + 2 \ln (1 + x)}{2}$

Этап 10

Объединим $4 \ln (x - 1)$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 \ln (y) + \frac{4 \ln (x - 1) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (z) + 2 \ln (1 + x)}{2}$

Этап 11

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \ln (y) + \frac{4 \ln (x - 1) \cdot 2 - (\ln (z) + 2 \ln (1 + x))}{2}$

Этап 12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $2$ на $4$ .

$3 \ln (y) + \frac{8 \ln (x - 1) - (\ln (z) + 2 \ln (1 + x))}{2}$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \ln (y) + \frac{8 \ln (x - 1) - \ln (z) - (2 \ln (1 + x))}{2}$

Этап 12.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 \ln (y) + \frac{8 \ln (x - 1) - \ln (z) - 2 \ln (1 + x)}{2}$