Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{10 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}}{7 {(x + 6)}^{2}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{10 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}}{7 {(x + 6)}^{2}})$ в виде $\ln (10 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}) - \ln (7 {(x + 6)}^{2})$ .

$\ln (10 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}) - \ln (7 {(x + 6)}^{2})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{5 - x}$ в виде ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (10 x^{5} {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (7 {(x + 6)}^{2})$

Этап 3

Перепишем $\ln (10 x^{5} {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})$ в виде $\ln (10 x^{5}) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (10 x^{5}) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (7 {(x + 6)}^{2})$

Этап 4

Перепишем $\ln (10 x^{5})$ в виде $\ln (10) + \ln (x^{5})$ .

$\ln (10) + \ln (x^{5}) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (7 {(x + 6)}^{2})$

Этап 5

Развернем $\ln (x^{5})$ , вынося $5$ из логарифма.

$\ln (10) + 5 \ln (x) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (7 {(x + 6)}^{2})$

Этап 6

Развернем $\ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})$ , вынося $\frac{1}{3}$ из логарифма.

$\ln (10) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - \ln (7 {(x + 6)}^{2})$

Этап 7

Перепишем $\ln (7 {(x + 6)}^{2})$ в виде $\ln (7) + \ln ({(x + 6)}^{2})$ .

$\ln (10) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (7) + \ln ({(x + 6)}^{2}))$

Этап 8

Развернем $\ln ({(x + 6)}^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\ln (10) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (7) + 2 \ln (x + 6))$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\ln (10)$ в виде $\ln (2 (5))$ .

$\ln (2 (5)) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (7) + 2 \ln (x + 6))$

Этап 9.2

Перепишем $\ln (2 (5))$ в виде $\ln (2) + \ln (5)$ .

$\ln (2) + \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (7) + 2 \ln (x + 6))$

Этап 9.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (5 - x)$ .

$\ln (2) + \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (5 - x)}{3} - (\ln (7) + 2 \ln (x + 6))$

Этап 9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (2) + \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (7) - (2 \ln (x + 6))$

Этап 9.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (2) + \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (7) - 2 \ln (x + 6)$

Этап 10

Чтобы записать $\ln (2)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\ln (5) + 5 \ln (x) + \ln (2) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (7) - 2 \ln (x + 6)$

Этап 11

Объединим $\ln (2)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (2) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (7) - 2 \ln (x + 6)$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (2) \cdot 3 + \ln (5 - x)}{3} - \ln (7) - 2 \ln (x + 6)$

Этап 13

Перенесем $3$ влево от $\ln (2)$ .

$\ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{3 \ln (2) + \ln (5 - x)}{3} - \ln (7) - 2 \ln (x + 6)$

Этап 14

Чтобы записать $- 2 \ln (x + 6)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{3 \ln (2) + \ln (5 - x)}{3} - 2 \ln (x + 6) \cdot \frac{3}{3} - \ln (7)$

Этап 15

Объединим $- 2 \ln (x + 6)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{3 \ln (2) + \ln (5 - x)}{3} + \frac{- 2 \ln (x + 6) \cdot 3}{3} - \ln (7)$

Этап 16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{3 \ln (2) + \ln (5 - x) - 2 \ln (x + 6) \cdot 3}{3} - \ln (7)$

Этап 17

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{3 \ln (2) + \ln (5 - x) - 6 \ln (x + 6)}{3} - \ln (7)$