Основы мат. анализа Примеры

$(\sqrt{8}, 2)$ , $(\sqrt{2}, - 2)$

Этап 1

Найдем угловой коэффициент прямой, соединяющей $(\sqrt{8}, 2)$ и $(\sqrt{2}, - 2)$ , используя выражение $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ , то есть отношение изменения $y$ к изменению $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Угловой коэффициент равен отношению изменения $y$ к изменению $x$ или отношению приращения функции к приращению аргумента.

$m = \frac{изменение по y}{изменение по x}$

Этап 1.2

Изменение в $x$ равно разности координат x (также называется разностью абсцисс), а изменение в $y$ равно разности координат y (также называется разностью ординат).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Этап 1.3

Подставим значения $x$ и $y$ в уравнение, чтобы найти угловой коэффициент.

$m = \frac{- 2 - (2)}{\sqrt{2} - (\sqrt{8})}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$m = \frac{- 2 - 2}{\sqrt{2} - \sqrt{8}}$

Этап 1.4.1.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$m = \frac{- 4}{\sqrt{2} - \sqrt{8}}$

Этап 1.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$m = \frac{- 4}{\sqrt{2} - \sqrt{4 (2)}}$

Этап 1.4.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$m = \frac{- 4}{\sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 1.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$m = \frac{- 4}{\sqrt{2} - (2 \sqrt{2})}$

Этап 1.4.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$m = \frac{- 4}{\sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}$

Этап 1.4.2.4

Вычтем $2 \sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$m = \frac{- 4}{- \sqrt{2}}$

Этап 1.4.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$m = \frac{4}{\sqrt{2}}$

Этап 1.4.4

Умножим $\frac{4}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$m = \frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 1.4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 1.4.5.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 1.4.5.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 1.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 1.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 1.4.5.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.5.6.5

Найдем экспоненту.

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.6

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{2}$ .

$m = \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Этап 1.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$m = \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 1.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$m = \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$m = \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Этап 1.4.6.2.4

Разделим $2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$m = 2 \sqrt{2}$

Этап 2

Используем угловой коэффициент $2 \sqrt{2}$ и координаты заданной точки $(\sqrt{8}, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 2 \sqrt{2} \cdot (x - (\sqrt{8}))$

Этап 3

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} \cdot (x - 2 \sqrt{2})$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $2 \sqrt{2} \cdot (x - 2 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем.

$y - 2 = 0 + 0 + 2 \sqrt{2} \cdot (x - 2 \sqrt{2})$

Этап 4.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} \cdot (x - 2 \sqrt{2})$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$

Этап 4.1.4

Умножим $2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Этап 4.1.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Этап 4.1.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Этап 4.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Этап 4.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 4.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 4.1.5.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 4.1.5.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.1.5.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.1.5.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 \cdot 2^{1}$

Этап 4.1.5.1.5

Найдем экспоненту.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 \cdot 2$

Этап 4.1.5.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 8$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 \sqrt{2} x - 8 + 2$

Этап 4.2.2

Добавим $- 8$ и $2$ .

$y = 2 \sqrt{2} x - 6$

Этап 5

Перечислим различные формы данного уравнения.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

$y = 2 \sqrt{2} x - 6$

Уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой:

$y - 2 = 2 \sqrt{2} \cdot (x - 2 \sqrt{2})$

Этап 6