Основы мат. анализа Примеры

$h (x) = - x^{2} - 2 x + 3$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для

$- x^{2} - 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

$a$ ,

$b$ и

$c$ .

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = 3$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение

$d$ по формуле

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения

$a$ и

$b$ в формулу

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель

$- 2$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель

$2$ из

$- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя

$\frac{- 1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 1$

Этап 1.1.1.3.2.2

Перепишем

$- 1 \cdot - 1$ в виде

$- - 1$ .

$d = - - 1$

Этап 1.1.1.3.2.3

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$d = 1$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем

$- 2$ в степень

$2$ .

$e = 3 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим

$4$ на

$- 1$ .

$e = 3 - \frac{4}{- 4}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Разделим

$4$ на

$- 4$ .

$e = 3 - - 1$

Этап 1.1.1.4.2.1.4

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$e = 3 + 1$

Этап 1.1.1.4.2.2

Добавим

$3$ и

$1$ .

$e = 4$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

$- {(x + 1)}^{2} + 4$ .

$- {(x + 1)}^{2} + 4$

Этап 1.1.2

Приравняем

$y$ к новой правой части.

$y = - {(x + 1)}^{2} + 4$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения

$a$ ,

$h$ и

$k$ .

$a = - 1$

$h = - 1$

$k = 4$

Этап 1.3

Поскольку

$a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину

$(h, k)$ .

$(- 1, 4)$

Этап 1.5

Найдем

$p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение

$a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель

$1$ и

$- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Перепишем

$1$ в виде

$- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив

$p$ к координате y

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(- 1, \frac{15}{4})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 1$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием

$p$ из y-координаты вершины

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{17}{4}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина:

$(- 1, 4)$

Фокус:

$(- 1, \frac{15}{4})$

Ось симметрии:

$x = - 1$

Директриса:

$y = \frac{17}{4}$

Направление ветвей: вниз

Вершина:

$(- 1, 4)$

Фокус:

$(- 1, \frac{15}{4})$

Ось симметрии:

$x = - 1$

Директриса:

$y = \frac{17}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений

$x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения

$y$ . Значения

$x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$- 2$ .

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 + 3$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем

$- 2$ в степень

$2$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + 3$

Этап 2.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$f (- 2) = - 4 - 2 \cdot - 2 + 3$

Этап 2.2.1.3

Умножим

$- 2$ на

$- 2$ .

$f (- 2) = - 4 + 4 + 3$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим

$- 4$ и

$4$ .

$f (- 2) = 0 + 3$

Этап 2.2.2.2

Добавим

$0$ и

$3$ .

$f (- 2) = 3$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ:

$3$ .

$3$

Этап 2.3

Значение

$y$ при

$x = - 2$ равно

$3$ .

$y = 3$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$- 3$ .

$f (- 3) = - {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем

$- 3$ в степень

$2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Этап 2.5.1.2

Умножим

$- 1$ на

$9$ .

$f (- 3) = - 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Этап 2.5.1.3

Умножим

$- 2$ на

$- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 6 + 3$

Этап 2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим

$- 9$ и

$6$ .

$f (- 3) = - 3 + 3$

Этап 2.5.2.2

Добавим

$- 3$ и

$3$ .

$f (- 3) = 0$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ:

$0$ .

$0$

Этап 2.6

Значение

$y$ при

$x = - 3$ равно

$0$ .

$y = 0$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$0$ .

$f (0) = - {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$f (0) = - 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Этап 2.8.1.2

Умножим

$- 1$ на

$0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Этап 2.8.1.3

Умножим

$- 2$ на

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Этап 2.8.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Добавим

$0$ и

$0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Этап 2.8.2.2

Добавим

$0$ и

$3$ .

$f (0) = 3$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ:

$3$ .

$3$

Этап 2.9

Значение

$y$ при

$x = 0$ равно

$3$ .

$y = 3$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$1$ .

$f (1) = - {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 3$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 3$

Этап 2.11.1.2

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$f (1) = - 1 - 2 \cdot 1 + 3$

Этап 2.11.1.3

Умножим

$- 2$ на

$1$ .

$f (1) = - 1 - 2 + 3$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем

$2$ из

$- 1$ .

$f (1) = - 3 + 3$

Этап 2.11.2.2

Добавим

$- 3$ и

$3$ .

$f (1) = 0$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ:

$0$ .

$0$

Этап 2.12

Значение

$y$ при

$x = 1$ равно

$0$ .

$y = 0$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина:

$(- 1, 4)$

Фокус:

$(- 1, \frac{15}{4})$

Ось симметрии:

$x = - 1$

Директриса:

$y = \frac{17}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}$

Этап 4