Основы мат. анализа Примеры

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{1}{2}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{1}{2}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = 1$ и $r = \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Этап 4

Умножим ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ на $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Этап 5

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Этап 6

Единица в любой степени равна единице.

$a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$

Этап 7

Это формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Для ее вычисления найдем значения $r$ и $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Этап 8

Заменим переменные известными величинами, чтобы найти $S_{7}$ .

$S_{7} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 9

Умножим $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ на $1$ .

$S_{7} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 10

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$S_{7} = \frac{2}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 10.2

Объединим.

$S_{7} = \frac{2 ({(\frac{1}{2})}^{7} - 1)}{2 (\frac{1}{2} - 1)}$

Этап 11

Применим свойство дистрибутивности.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Этап 12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Этап 12.2

Перепишем это выражение.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2^{7}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{7}$ .

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 13.2.2

Сократим общий множитель.

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 13.2.3

Перепишем это выражение.

$S_{7} = \frac{\frac{1^{7}}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 13.3

Единица в любой степени равна единице.

$S_{7} = \frac{\frac{1}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 13.4

Возведем $2$ в степень $6$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 13.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 13.6

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2 \cdot \frac{64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 13.7

Объединим $- 2$ и $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + \frac{- 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 13.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 13.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1

Умножим $- 2$ на $64$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 128}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 13.9.2

Вычтем $128$ из $1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{- 127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 13.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Этап 14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 - 2}$

Этап 14.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{- 1}$

Этап 15

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$S_{7} = \frac{\frac{127}{64}}{1}$

Этап 15.2

Разделим $\frac{127}{64}$ на $1$ .

$S_{7} = \frac{127}{64}$