Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{1}{2}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{1}{2}$

Этап 2

Сумма ряда $S_{n}$ вычисляется по формуле $S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ . Для суммы бесконечного геометрического ряда $S_{\infty}$ при $n$ , стремящемся к $\infty$ , $1 - r^{n}$ стремится к $1$ . Следовательно, $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ стремится к $\frac{a}{1 - r}$ .

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

Этап 3

Значения $a = \frac{1}{2}$ и $r = \frac{1}{2}$ можно подставить в уравнение $S_{\infty}$ .

$S_{\infty} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 4

Упростим уравнение, чтобы найти $S_{\infty}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

Этап 4.2.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 4.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot (1 \cdot 2)$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $1 \cdot 2$ .

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 1)$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 1)$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$S_{\infty} = 1$