Основы мат. анализа Примеры

$2 x + y + z = 5$ , $4 x - y - 3 z = 1$ , $8 x + y - z = 5$

Этап 1

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 4 & - 1 & - 3 \\ 8 & 1 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 5 \end{array}]$

Этап 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 4 & - 1 & - 3 \\ 8 & 1 & - 1 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 4 & - 1 & - 3 \\ 8 & 1 & - 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 4 & - 1 & - 3 \\ 8 & 1 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Этап 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Этап 2.2.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Этап 2.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (- - 1 - 1 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Этап 2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (1 - 1 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Этап 2.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$2 (1 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Этап 2.3.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$2 \cdot 4 - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Этап 2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 4 - 1 (4 \cdot - 1 - 8 \cdot - 3) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Этап 2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$2 \cdot 4 - 1 (- 4 - 8 \cdot - 3) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $- 8$ на $- 3$ .

$2 \cdot 4 - 1 (- 4 + 24) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Этап 2.4.2.2

Добавим $- 4$ и $24$ .

$2 \cdot 4 - 1 \cdot 20 + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Этап 2.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 4 - 1 \cdot 20 + 1 (4 \cdot 1 - 8 \cdot - 1)$

Этап 2.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $4$ на $1$ .

$2 \cdot 4 - 1 \cdot 20 + 1 (4 - 8 \cdot - 1)$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$2 \cdot 4 - 1 \cdot 20 + 1 (4 + 8)$

Этап 2.5.2.2

Добавим $4$ и $8$ .

$2 \cdot 4 - 1 \cdot 20 + 1 \cdot 12$

Этап 2.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$8 - 1 \cdot 20 + 1 \cdot 12$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 1$ на $20$ .

$8 - 20 + 1 \cdot 12$

Этап 2.6.1.3

Умножим $12$ на $1$ .

$8 - 20 + 12$

Этап 2.6.2

Вычтем $20$ из $8$ .

$- 12 + 12$

Этап 2.6.3

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0$

$D = 0$

Этап 3

Since the determinant is $0$ , the system cannot be solved using Cramer's Rule.