Основы мат. анализа Примеры

$2 x + 3 y + z = - 4$ , $x - y - 4 z = 9$ , $- x - 4 y + 9 z = - 29$

Этап 1

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & - 4 \\ - 1 & - 4 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \\ - 29 \end{array}]$

Этап 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & - 4 \\ - 1 & - 4 & 9 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & - 4 \\ - 1 & - 4 & 9 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & - 4 \\ - 1 & - 4 & 9 \end{array} |$

Этап 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$

Этап 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$

Этап 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$

Этап 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$

Этап 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 2.2.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 2.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (- 1 \cdot 9 - (- 4 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$2 (- 9 - (- 4 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 2.3.2.1.2

Умножим $- (- 4 \cdot - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$2 (- 9 - 1 \cdot 16) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 2.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$2 (- 9 - 16) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $16$ из $- 9$ .

$2 \cdot - 25 - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 25 - 3 (1 \cdot 9 - - - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Умножим $9$ на $1$ .

$2 \cdot - 25 - 3 (9 - - - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $- - - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$2 \cdot - 25 - 3 (9 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 2.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$2 \cdot - 25 - 3 (9 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 2.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 (1 \cdot - 4 - - - 1)$

Этап 2.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 (- 4 - - - 1)$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $- - - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 (- 4 - 1 \cdot 1)$

Этап 2.5.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 (- 4 - 1)$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 5$

Этап 2.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Умножим $2$ на $- 25$ .

$- 50 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 5$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 3$ на $5$ .

$- 50 - 15 + 1 \cdot - 5$

Этап 2.6.1.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 50 - 15 - 5$

Этап 2.6.2

Вычтем $15$ из $- 50$ .

$- 65 - 5$

Этап 2.6.3

Вычтем $5$ из $- 65$ .

$- 70$

$D = - 70$

Этап 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Этап 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \\ - 29 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 4 & 3 & 1 \\ 9 & - 1 & - 4 \\ - 29 & - 4 & 9 \end{array} |$

Этап 4.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$

Этап 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$

Этап 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$

Этап 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$

Этап 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Этап 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Этап 4.2.1.9

Add the terms together.

$- 4 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Этап 4.2.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 (- 1 \cdot 9 - (- 4 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Этап 4.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 4 (- 9 - (- 4 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Этап 4.2.2.2.1.2

Умножим $- (- 4 \cdot - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$- 4 (- 9 - 1 \cdot 16) - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Этап 4.2.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$- 4 (- 9 - 16) - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $16$ из $- 9$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Этап 4.2.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 (9 \cdot 9 - (- 29 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Этап 4.2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.1

Умножим $9$ на $9$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 (81 - (- 29 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Этап 4.2.3.2.1.2

Умножим $- (- 29 \cdot - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.2.1

Умножим $- 29$ на $- 4$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 (81 - 1 \cdot 116) + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Этап 4.2.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $116$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 (81 - 116) + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Этап 4.2.3.2.2

Вычтем $116$ из $81$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Этап 4.2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 (9 \cdot - 4 - (- 29 \cdot - 1))$

Этап 4.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1.1

Умножим $9$ на $- 4$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 (- 36 - (- 29 \cdot - 1))$

Этап 4.2.4.2.1.2

Умножим $- (- 29 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 29$ на $- 1$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 (- 36 - 1 \cdot 29)$

Этап 4.2.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $29$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 (- 36 - 29)$

Этап 4.2.4.2.2

Вычтем $29$ из $- 36$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 \cdot - 65$

Этап 4.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Умножим $- 4$ на $- 25$ .

$100 - 3 \cdot - 35 + 1 \cdot - 65$

Этап 4.2.5.1.2

Умножим $- 3$ на $- 35$ .

$100 + 105 + 1 \cdot - 65$

Этап 4.2.5.1.3

Умножим $- 65$ на $1$ .

$100 + 105 - 65$

Этап 4.2.5.2

Добавим $100$ и $105$ .

$205 - 65$

Этап 4.2.5.3

Вычтем $65$ из $205$ .

$140$

$D_{x} = 140$

Этап 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Этап 4.4

Substitute $- 70$ for $D$ and $140$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{140}{- 70}$

Этап 4.5

Разделим $140$ на $- 70$ .

$x = - 2$

Этап 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \\ - 29 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 & 1 \\ 1 & 9 & - 4 \\ - 1 & - 29 & 9 \end{array} |$

Этап 5.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$

Этап 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$

Этап 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$

Этап 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$

Этап 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 5.2.1.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 5.2.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (9 \cdot 9 - (- 29 \cdot - 4)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Умножим $9$ на $9$ .

$2 (81 - (- 29 \cdot - 4)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2.1.2

Умножим $- (- 29 \cdot - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.2.1

Умножим $- 29$ на $- 4$ .

$2 (81 - 1 \cdot 116) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $116$ .

$2 (81 - 116) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2.2

Вычтем $116$ из $81$ .

$2 \cdot - 35 + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 5.2.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 35 + 4 (1 \cdot 9 - - - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

Умножим $9$ на $1$ .

$2 \cdot - 35 + 4 (9 - - - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2.1.2

Умножим $- - - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$2 \cdot - 35 + 4 (9 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$2 \cdot - 35 + 4 (9 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 5.2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 (1 \cdot - 29 - (- 1 \cdot 9))$

Этап 5.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1.1

Умножим $- 29$ на $1$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 (- 29 - (- 1 \cdot 9))$

Этап 5.2.4.2.1.2

Умножим $- (- 1 \cdot 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 (- 29 - - 9)$

Этап 5.2.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 (- 29 + 9)$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим $- 29$ и $9$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot - 20$

Этап 5.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Умножим $2$ на $- 35$ .

$- 70 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot - 20$

Этап 5.2.5.1.2

Умножим $4$ на $5$ .

$- 70 + 20 + 1 \cdot - 20$

Этап 5.2.5.1.3

Умножим $- 20$ на $1$ .

$- 70 + 20 - 20$

Этап 5.2.5.2

Добавим $- 70$ и $20$ .

$- 50 - 20$

Этап 5.2.5.3

Вычтем $20$ из $- 50$ .

$- 70$

$D_{y} = - 70$

Этап 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Этап 5.4

Substitute $- 70$ for $D$ and $- 70$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 70}{- 70}$

Этап 5.5

Разделим $- 70$ на $- 70$ .

$y = 1$

Этап 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \\ - 29 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 3 & - 4 \\ 1 & - 1 & 9 \\ - 1 & - 4 & - 29 \end{array} |$

Этап 6.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 9 \\ - 4 & - 29 \end{array} |$

Этап 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & 9 \\ - 4 & - 29 \end{array} |$

Этап 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Этап 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 6.2.1.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & 9 \\ - 4 & - 29 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 6.2.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 1 & 9 \\ - 4 & - 29 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (- - 29 - (- 4 \cdot 9)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 29$ .

$2 (29 - (- 4 \cdot 9)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2.1.2

Умножим $- (- 4 \cdot 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$2 (29 - - 36) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 36$ .

$2 (29 + 36) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2.2

Добавим $29$ и $36$ .

$2 \cdot 65 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 6.2.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 65 - 3 (1 \cdot - 29 - (- 1 \cdot 9)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1.1

Умножим $- 29$ на $1$ .

$2 \cdot 65 - 3 (- 29 - (- 1 \cdot 9)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2.1.2

Умножим $- (- 1 \cdot 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$2 \cdot 65 - 3 (- 29 - - 9) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$2 \cdot 65 - 3 (- 29 + 9) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2.2

Добавим $- 29$ и $9$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 6.2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 (1 \cdot - 4 - - - 1)$

Этап 6.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 (- 4 - - - 1)$

Этап 6.2.4.2.1.2

Умножим $- - - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 (- 4 - 1 \cdot 1)$

Этап 6.2.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 (- 4 - 1)$

Этап 6.2.4.2.2

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 \cdot - 5$

Этап 6.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Умножим $2$ на $65$ .

$130 - 3 \cdot - 20 - 4 \cdot - 5$

Этап 6.2.5.1.2

Умножим $- 3$ на $- 20$ .

$130 + 60 - 4 \cdot - 5$

Этап 6.2.5.1.3

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$130 + 60 + 20$

Этап 6.2.5.2

Добавим $130$ и $60$ .

$190 + 20$

Этап 6.2.5.3

Добавим $190$ и $20$ .

$210$

$D_{z} = 210$

Этап 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Этап 6.4

Substitute $- 70$ for $D$ and $210$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{210}{- 70}$

Этап 6.5

Разделим $210$ на $- 70$ .

$z = - 3$

Этап 7

Приведем решение системы уравнений.

$x = - 2$

$y = 1$

$z = - 3$