Основы мат. анализа Примеры

$x + y = 8$ , $x - y = 4$

Этап 1

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 4 \end{array}]$

Этап 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.2

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 - 1 \cdot 1$

Этап 2.3

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - 1$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$- 2$

$D = - 2$

Этап 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Этап 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 8 \\ 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Этап 4.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$8 \cdot - 1 - 4 \cdot 1$

Этап 4.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 8 - 4 \cdot 1$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 8 - 4$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $4$ из $- 8$ .

$- 12$

$D_{x} = - 12$

Этап 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Этап 4.4

Substitute $- 2$ for $D$ and $- 12$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 12}{- 2}$

Этап 4.5

Разделим $- 12$ на $- 2$ .

$x = 6$

Этап 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 8 \\ 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & 4 \end{array} |$

Этап 5.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 - 1 \cdot 8$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $4$ на $1$ .

$4 - 1 \cdot 8$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$4 - 8$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $8$ из $4$ .

$- 4$

$D_{y} = - 4$

Этап 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Этап 5.4

Substitute $- 2$ for $D$ and $- 4$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 4}{- 2}$

Этап 5.5

Разделим $- 4$ на $- 2$ .

$y = 2$

Этап 6

Приведем решение системы уравнений.

$x = 6$

$y = 2$