Основы мат. анализа Примеры

$2 x - 3 y = 12$ , $2 x + 4 y = - 8$

Этап 1

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 2 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 12 \\ - 8 \end{array}]$

Этап 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 2 & 4 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 2 & 4 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Этап 2.2

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 3$

Этап 2.3

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$8 - 2 \cdot - 3$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$8 + 6$

Этап 2.3.2

Добавим $8$ и $6$ .

$14$

$D = 14$

Этап 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Этап 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 12 \\ - 8 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 12 & - 3 \\ - 8 & 4 \end{array} |$

Этап 4.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$12 \cdot 4 - (- 8 \cdot - 3)$

Этап 4.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $12$ на $4$ .

$48 - (- 8 \cdot - 3)$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $- (- 8 \cdot - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Умножим $- 8$ на $- 3$ .

$48 - 1 \cdot 24$

Этап 4.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $24$ .

$48 - 24$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $24$ из $48$ .

$24$

$D_{x} = 24$

Этап 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Этап 4.4

Substitute $14$ for $D$ and $24$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{24}{14}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $24$ и $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$x = \frac{2 (12)}{14}$

Этап 4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$x = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 7}$

Этап 4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 7}$

Этап 4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{12}{7}$

Этап 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 12 \\ - 8 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 12 \\ 2 & - 8 \end{array} |$

Этап 5.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 8 - 2 \cdot 12$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $2$ на $- 8$ .

$- 16 - 2 \cdot 12$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $12$ .

$- 16 - 24$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $24$ из $- 16$ .

$- 40$

$D_{y} = - 40$

Этап 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Этап 5.4

Substitute $14$ for $D$ and $- 40$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 40}{14}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $- 40$ и $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 40$ .

$y = \frac{2 (- 20)}{14}$

Этап 5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$y = \frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 7}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 7}$

Этап 5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 20}{7}$

Этап 5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{20}{7}$

Этап 6

Приведем решение системы уравнений.

$x = \frac{12}{7}$

$y = - \frac{20}{7}$