Основы мат. анализа Примеры

$\csc (x) > 0$ , $\cot (x) < 0$

Этап 1

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 2

Упростим второе неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

Нет решения или $x < arccot (0)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

Нет решения или $x < \frac{π}{2}$

Этап 2.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

Нет решения или $x = π + \frac{π}{2}$

Этап 2.4

Упростим $π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

Нет решения или $x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

Нет решения или $x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

Нет решения или $x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

Нет решения или $x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 2.4.3.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

Нет решения или $x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

Нет решения или $x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$

Этап 2.7

Объединим ответы.

Нет решения или $x = \frac{π}{2} + π n$

Этап 2.8

Найдем область определения $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Зададим аргумент в $\csc (x)$ равным $π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.8.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

Нет решения или $0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

Этап 2.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

Нет решения или $x = 1$

Этап 2.10.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

Нет решения или $\cot (1) < 0$

Этап 2.10.1.3

Левая часть $0.64209261$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

No solution or False

Этап 2.10.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

Нет решения или $x = 2$

Этап 2.10.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

Нет решения или $\cot (2) < 0$

Этап 2.10.2.3

Левая часть $- 0.45765755$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

No solution or True

Этап 2.10.3

Проверим значение на интервале $π < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Выберем значение на интервале $π < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

Нет решения или $x = 4$

Этап 2.10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

Нет решения или $\cot (4) < 0$

Этап 2.10.3.3

Левая часть $0.86369115$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

No solution or False

Этап 2.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

No solution or $0 < x < \frac{π}{2}$ False

$\frac{π}{2} < x < π$ Истина

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Ложь

No solution or $0 < x < \frac{π}{2}$ False

$\frac{π}{2} < x < π$ Истина

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Ложь

Этап 2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

Нет решения или $\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$

Нет решения