Основы мат. анализа Примеры

${(y + 5)}^{2} = - 6 x + 12$

Этап 1

Изолируем $x$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $- 6 x + 12 = {(y + 5)}^{2}$ .

$- 6 x + 12 = {(y + 5)}^{2}$

Этап 1.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$- 6 x = {(y + 5)}^{2} - 12$

Этап 1.3

Разделим каждый член $- 6 x = {(y + 5)}^{2} - 12$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим каждый член $- 6 x = {(y + 5)}^{2} - 12$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{{(y + 5)}^{2}}{- 6} + \frac{- 12}{- 6}$

Этап 1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{{(y + 5)}^{2}}{- 6} + \frac{- 12}{- 6}$

Этап 1.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{{(y + 5)}^{2}}{- 6} + \frac{- 12}{- 6}$

Этап 1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{{(y + 5)}^{2}}{6} + \frac{- 12}{- 6}$

Этап 1.3.3.1.2

Разделим $- 12$ на $- 6$ .

$x = - \frac{{(y + 5)}^{2}}{6} + 2$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$x = - \frac{1}{6} \cdot {(y + 5)}^{2} + 2$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$h = 2$

$k = - 5$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены влево.

Обращены влево

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(2, - 5)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Этап 5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

Этап 5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Этап 5.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (1 (\frac{3}{2}))$

Этап 5.3.5

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{1}{2}, - 5)$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = - 5$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = \frac{7}{2}$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление: обращены влево

Вершина: $(2, - 5)$

Фокус: $(\frac{1}{2}, - 5)$

Ось симметрии: $y = - 5$

Директриса: $x = \frac{7}{2}$

Этап 10