Основы мат. анализа Примеры

${(x - 3)}^{2} = 8 (y + 1)$

Этап 1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $8 (y + 1) = {(x - 3)}^{2}$ .

$8 (y + 1) = {(x - 3)}^{2}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $8 (y + 1) = {(x - 3)}^{2}$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $8 (y + 1) = {(x - 3)}^{2}$ на $8$ .

$\frac{8 (y + 1)}{8} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{8}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (y + 1)}{8} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{8}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $y + 1$ на $1$ .

$y + 1 = \frac{{(x - 3)}^{2}}{8}$

Этап 1.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \frac{{(x - 3)}^{2}}{8} - 1$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{8} \cdot {(x - 3)}^{2} - 1$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = 3$

$k = - 1$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(3, - 1)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 5.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \cdot 2$

Этап 5.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, 1)$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 3$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - 3$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(3, - 1)$

Фокус: $(3, 1)$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = - 3$

Этап 10