Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 6$

$b = 3 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\sqrt{36 - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило умножения к $3 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{36 - (3^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Этап 5.3.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{36 - (9 {\sqrt{3}}^{2})}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{36 - (9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{36 - (9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{36 - (9 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{36 - (9 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{36 - (9 \cdot 3^{1})}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{36 - (9 \cdot 3)}$

Этап 5.3.3

Умножим $- (9 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 27}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $- 1$ на $27$ .

$\sqrt{36 - 27}$

Этап 5.3.4

Вычтем $27$ из $36$ .

$\sqrt{9}$

Этап 5.3.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 + 6, 0)$

Этап 6.3

Упростим.

$(6, 0)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 - (6), 0)$

Этап 6.6

Упростим.

$(- 6, 0)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(6, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 6, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 6, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 + 3, 0)$

Этап 7.3

Упростим.

$(3, 0)$

Этап 7.4

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 - (3), 0)$

Этап 7.6

Упростим.

$(- 3, 0)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}}{6}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - {(3 \sqrt{3})}^{2}}}{6}$

Этап 8.3.1.2

Применим правило умножения к $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (3^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{6}$

Этап 8.3.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (9 {\sqrt{3}}^{2})}}{6}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{6}$

Этап 8.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{6}$

Этап 8.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (9 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{6}$

Этап 8.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{36 - (9 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{6}$

Этап 8.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{36 - (9 \cdot 3^{1})}}{6}$

Этап 8.3.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{36 - (9 \cdot 3)}}{6}$

Этап 8.3.1.5

Умножим $- (9 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 27}}{6}$

Этап 8.3.1.5.2

Умножим $- 1$ на $27$ .

$\frac{\sqrt{36 - 27}}{6}$

Этап 8.3.1.6

Вычтем $27$ из $36$ .

$\frac{\sqrt{9}}{6}$

Этап 8.3.1.7

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{6}$

Этап 8.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{6}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{6}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 6, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{1}{2}$

Этап 10