Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{225} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{400} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{225} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{400} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 15$

$b = 20$

$k = 3$

$h = 5$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(5, 3)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(15)}^{2} + {(20)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $15$ в степень $2$ .

$\sqrt{225 + {(20)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $20$ в степень $2$ .

$\sqrt{225 + 400}$

Этап 5.3.3

Добавим $225$ и $400$ .

$\sqrt{625}$

Этап 5.3.4

Перепишем $625$ в виде $25^{2}$ .

$\sqrt{25^{2}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$25$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(5, 18)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(5, - 12)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(5, 18), (5, - 12)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(5, 28)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(5, - 22)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(5, 28), (5, - 22)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(15)}^{2} + {(20)}^{2}}}{15}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $15$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{225 + 20^{2}}}{15}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $20$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{225 + 400}}{15}$

Этап 8.3.1.3

Добавим $225$ и $400$ .

$\frac{\sqrt{625}}{15}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем $625$ в виде $25^{2}$ .

$\frac{\sqrt{25^{2}}}{15}$

Этап 8.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{25}{15}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $25$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{5 (5)}{15}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 3}$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 3}$

Этап 8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{3}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{20^{2}}{25}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $20$ в степень $2$ .

$\frac{400}{25}$

Этап 9.3.2

Разделим $400$ на $25$ .

$16$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$

Этап 11.2

Упростим $\frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 5) + 3$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 5 + 3$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 5 + 3$

Этап 11.2.1.4

Умножим $\frac{3}{4} \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $- 5$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 5}{4} + 3$

Этап 11.2.1.4.2

Умножим $3$ на $- 5$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 15}{4} + 3$

Этап 11.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{15}{4} + 3$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{15}{4} + 3 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 11.2.3

Объединим $3$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 15 + 3 \cdot 4}{4}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $3$ на $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 15 + 12}{4}$

Этап 11.2.5.2

Добавим $- 15$ и $12$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3}{4}$

Этап 11.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 5) + 3$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 5 + 3$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 5 + 3$

Этап 12.2.1.4

Умножим $- \frac{3}{4} \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 5 (\frac{3}{4}) + 3$

Этап 12.2.1.4.2

Объединим $5$ и $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{5 \cdot 3}{4} + 3$

Этап 12.2.1.4.3

Умножим $5$ на $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{15}{4} + 3$

Этап 12.2.1.5

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15}{4} + 3$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15}{4} + 3 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 12.2.3

Объединим $3$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15 + 3 \cdot 4}{4}$

Этап 12.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $3$ на $4$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15 + 12}{4}$

Этап 12.2.5.2

Добавим $15$ и $12$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{27}{4}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{27}{4}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(5, 3)$

Вершины: $(5, 18), (5, - 12)$

Фокусы: $(5, 28), (5, - 22)$

Эксцентриситет: $\frac{5}{3}$

Фокальный параметр: $16$

Асимптоты: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4}$ , $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{27}{4}$

Этап 15