Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{81} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{144} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{81} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{144} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 9$

$b = 12$

$k = 1$

$h = 5$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(5, 1)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(9)}^{2} + {(12)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\sqrt{81 + {(12)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\sqrt{81 + 144}$

Этап 5.3.3

Добавим $81$ и $144$ .

$\sqrt{225}$

Этап 5.3.4

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$\sqrt{15^{2}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$15$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(14, 1)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, 1)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(14, 1), (- 4, 1)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(20, 1)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 10, 1)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(20, 1), (- 10, 1)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} + {(12)}^{2}}}{9}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{81 + 12^{2}}}{9}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{81 + 144}}{9}$

Этап 8.3.1.3

Добавим $81$ и $144$ .

$\frac{\sqrt{225}}{9}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$\frac{\sqrt{15^{2}}}{9}$

Этап 8.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{15}{9}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $15$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{3 (5)}{9}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3}$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3}$

Этап 8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{3}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{12^{2}}{15}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\frac{144}{15}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $144$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $144$ .

$\frac{3 (48)}{15}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{3 \cdot 48}{3 \cdot 5}$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 48}{3 \cdot 5}$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{48}{5}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (5)) + 1$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (5)) + 1$

Этап 11.2

Упростим $\frac{4}{3} \cdot (x - (5)) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 5) + 1$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 5 + 1$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 5 + 1$

Этап 11.2.1.4

Умножим $\frac{4}{3} \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $- 5$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot - 5}{3} + 1$

Этап 11.2.1.4.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 20}{3} + 1$

Этап 11.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{20}{3} + 1$

Этап 11.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{20}{3} + \frac{3}{3}$

Этап 11.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 20 + 3}{3}$

Этап 11.2.2.3

Добавим $- 20$ и $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 17}{3}$

Этап 11.2.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{17}{3}$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (5)) + 1$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{4}{3} \cdot (x - (5)) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 5) + 1$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 5 + 1$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 5 + 1$

Этап 12.2.1.4

Умножим $- \frac{4}{3} \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 5 (\frac{4}{3}) + 1$

Этап 12.2.1.4.2

Объединим $5$ и $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{5 \cdot 4}{3} + 1$

Этап 12.2.1.4.3

Умножим $5$ на $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{20}{3} + 1$

Этап 12.2.1.5

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3} + 1$

Этап 12.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{3}{3}$

Этап 12.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{20 + 3}{3}$

Этап 12.2.2.3

Добавим $20$ и $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{23}{3}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{17}{3}, y = - \frac{4 x}{3} + \frac{23}{3}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(5, 1)$

Вершины: $(14, 1), (- 4, 1)$

Фокусы: $(20, 1), (- 10, 1)$

Эксцентриситет: $\frac{5}{3}$

Фокальный параметр: $\frac{48}{5}$

Асимптоты: $y = \frac{4 x}{3} - \frac{17}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} + \frac{23}{3}$

Этап 15