Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} - 2 y - x = 2$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $x$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y - x = 2 - y^{2}$

Этап 1.1.1.2

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$- x = 2 - y^{2} + 2 y$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $- x = 2 - y^{2} + 2 y$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $- x = 2 - y^{2} + 2 y$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1}$

Этап 1.1.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{- 1} + \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$x = - 2 + \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = - 2 + \frac{y^{2}}{1} + \frac{2 y}{- 1}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$x = - 2 + y^{2} + \frac{2 y}{- 1}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 y}{- 1}$ .

$x = - 2 + y^{2} - 1 \cdot (2 y)$

Этап 1.1.2.3.1.5

Перепишем $- 1 \cdot (2 y)$ в виде $- (2 y)$ .

$x = - 2 + y^{2} - (2 y)$

Этап 1.1.2.3.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = - 2 + y^{2} - 2 y$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- 2 + y^{2} - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $- 2$ .

$y^{2} - 2 y - 2$

Этап 1.2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = - 2$

Этап 1.2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 1.2.4.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4}$

Этап 1.2.5.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = - 2 - \frac{4}{4}$

Этап 1.2.5.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = - 2 - 1 \cdot 1$

Этап 1.2.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = - 2 - 1$

Этап 1.2.5.2.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$e = - 3$

Этап 1.2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 1)}^{2} - 3$ .

${(y - 1)}^{2} - 3$

Этап 1.3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = {(y - 1)}^{2} - 3$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - 3$

$k = 1$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{11}{4}, 1)$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 1$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - \frac{13}{4}$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 3, 1)$

Фокус: $(- \frac{11}{4}, 1)$

Ось симметрии: $y = 1$

Директриса: $x = - \frac{13}{4}$

Этап 10