Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}}$

Этап 5.3.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}}$

Этап 5.3.7

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}}$

Этап 5.3.8

Чтобы записать $- \frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 5.3.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 5.3.9.2

Умножим $4$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 5.3.9.3

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}}$

Этап 5.3.9.4

Умножим $9$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}}$

Этап 5.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}}$

Этап 5.3.11

Вычтем $4$ из $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}}$

Этап 5.3.12

Перепишем $\sqrt{\frac{5}{36}}$ в виде $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$

Этап 5.3.13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.13.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}}$

Этап 5.3.13.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 + \frac{1}{2}, 0)$

Этап 6.3

Упростим.

$(\frac{1}{2}, 0)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 - (\frac{1}{2}), 0)$

Этап 6.6

Упростим.

$(- \frac{1}{2}, 0)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 + \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Этап 7.3

Упростим.

$(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Этап 7.4

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 - (\frac{\sqrt{5}}{6}), 0)$

Этап 7.6

Упростим.

$(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Этап 8.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Этап 8.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Этап 8.3.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

Этап 8.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

Этап 8.3.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Этап 8.3.8

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Этап 8.3.9

Чтобы записать $- \frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Этап 8.3.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Этап 8.3.10.2

Умножим $4$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Этап 8.3.10.3

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

Этап 8.3.10.4

Умножим $9$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}} \cdot 2$

Этап 8.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}} \cdot 2$

Этап 8.3.12

Вычтем $4$ из $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot 2$

Этап 8.3.13

Перепишем $\sqrt{\frac{5}{36}}$ в виде $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

Этап 8.3.14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

Этап 8.3.14.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot 2$

Этап 8.3.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.15.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 (3)} \cdot 2$

Этап 8.3.15.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Этап 8.3.15.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Этап 10