Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - y^{2} - 2 x - 8 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - y^{2} - 2 x = 8$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 1.2.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Этап 1.3

Подставим ${(x - 1)}^{2} - 1$ вместо $x^{2} - 2 x$ в уравнение $x^{2} - y^{2} - 2 x = 8$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 - y^{2} = 8$

Этап 1.4

Перенесем $- 1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

${(x - 1)}^{2} - y^{2} = 8 + 1$

Этап 1.5

Добавим $8$ и $1$ .

${(x - 1)}^{2} - y^{2} = 9$

Этап 1.6

Разделим каждый член на $9$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Этап 1.7

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 3$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 1$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(1, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 + {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 + 9}$

Этап 5.3.3

Добавим $9$ и $9$ .

$\sqrt{18}$

Этап 5.3.4

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\sqrt{9 (2)}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$3 \sqrt{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, 0)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(4, 0), (- 2, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1 + 3 \sqrt{2}, 0)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1 - 3 \sqrt{2}, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(1 + 3 \sqrt{2}, 0), (1 - 3 \sqrt{2}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(3)}^{2}}}{3}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{2}}}{3}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 9}}{3}$

Этап 8.3.1.3

Добавим $9$ и $9$ .

$\frac{\sqrt{18}}{3}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)}}{3}$

Этап 8.3.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

Этап 8.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{2}}{3}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{2}}{3}$

Этап 8.3.2.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{3^{2}}{3 \sqrt{2}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $3^{2}$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (\sqrt{2})}$

Этап 9.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{3}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm 1 \cdot (x - (1)) + 0$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = 1 \cdot (x - (1)) + 0$

Этап 11.2

Упростим $1 \cdot (x - (1)) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $1 \cdot (x - (1))$ и $0$ .

$y = 1 \cdot (x - (1))$

Этап 11.2.2

Умножим $x - (1)$ на $1$ .

$y = x - (1)$

Этап 11.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = x - 1$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - 1 \cdot (x - (1)) + 0$

Этап 12.2

Упростим $- 1 \cdot (x - (1)) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Добавим $- 1 \cdot (x - (1))$ и $0$ .

$y = - 1 \cdot (x - (1))$

Этап 12.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = - 1 \cdot (x - 1)$

Этап 12.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 12.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 1$

Этап 12.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - x + 1$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = x - 1, y = - x + 1$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(1, 0)$

Вершины: $(4, 0), (- 2, 0)$

Фокусы: $(1 + 3 \sqrt{2}, 0), (1 - 3 \sqrt{2}, 0)$

Эксцентриситет: $\sqrt{2}$

Фокальный параметр: $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Асимптоты: $y = x - 1$ , $y = - x + 1$

Этап 15