Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y - 129 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $129$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 8}{4}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $256$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Этап 1.3

Подставим $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ вместо $4 x^{2} - 16 x$ в уравнение $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - 9 y^{2} - 72 y = 129$

Этап 1.4

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} - 72 y = 129 + 16$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- 9 y^{2} - 72 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 9$

$b = - 72$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 72}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 72$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 72$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (- 9)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 36}{- 9}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 36$ и $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 36$ .

$d = \frac{- 9 (4)}{- 9}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9$ .

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 72$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot - 9}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{- 36}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $5184$ на $- 36$ .

$e = 0 - - 144$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 144$ .

$e = 0 + 144$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $144$ .

$e = 144$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$ .

$- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$

Этап 1.6

Подставим $- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$ вместо $- 9 y^{2} - 72 y$ в уравнение $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} + 144 = 129 + 16$

Этап 1.7

Перенесем $144$ в правую часть уравнения, прибавив $144$ к обеим частям.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 129 + 16 - 144$

Этап 1.8

Упростим $129 + 16 - 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $129$ и $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 145 - 144$

Этап 1.8.2

Вычтем $144$ из $145$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 1$

Этап 1.9

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = - 4$

$h = 2$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(2, - 4)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3^{2}}}$

Этап 5.3.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}}$

Этап 5.3.7

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 5.3.8

Чтобы записать $\frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 5.3.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 5.3.9.2

Умножим $4$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 5.3.9.3

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4}}$

Этап 5.3.9.4

Умножим $9$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}}$

Этап 5.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{9 + 4}{36}}$

Этап 5.3.11

Добавим $9$ и $4$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}}$

Этап 5.3.12

Перепишем $\sqrt{\frac{13}{36}}$ в виде $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$

Этап 5.3.13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.13.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}}$

Этап 5.3.13.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{13}}{6}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{5}{2}, - 4)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{3}{2}, - 4)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(\frac{5}{2}, - 4), (\frac{3}{2}, - 4)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4), (2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Этап 8.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Этап 8.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Этап 8.3.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

Этап 8.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

Этап 8.3.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}} \cdot 2$

Этап 8.3.8

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}} \cdot 2$

Этап 8.3.9

Чтобы записать $\frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Этап 8.3.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Этап 8.3.10.2

Умножим $4$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Этап 8.3.10.3

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

Этап 8.3.10.4

Умножим $9$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}} \cdot 2$

Этап 8.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{9 + 4}{36}} \cdot 2$

Этап 8.3.12

Добавим $9$ и $4$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}} \cdot 2$

Этап 8.3.13

Перепишем $\sqrt{\frac{13}{36}}$ в виде $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

Этап 8.3.14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

Этап 8.3.14.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{13}}{6} \cdot 2$

Этап 8.3.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.15.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2 (3)} \cdot 2$

Этап 8.3.15.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{13}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Этап 8.3.15.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{\frac{\frac{1}{3^{2}}}{\sqrt{13}}}{6}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\frac{1}{3^{2}}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{1}{6}$

Этап 9.3.2

Объединим.

$\frac{\frac{1}{3^{2}} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Этап 9.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{1}{9} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Этап 9.3.3.2

Умножим $\frac{1}{9}$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{9}}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Этап 9.3.3.3

Перенесем $6$ влево от $\sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{1}{9}}{6 \sqrt{13}}$

Этап 9.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6 \sqrt{13}}$

Этап 9.3.5

Умножим $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{6 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

Этап 9.3.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.1

Умножим $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \sqrt{13} \sqrt{13}}$

Этап 9.3.6.2

Перенесем $\sqrt{13}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

Этап 9.3.6.3

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}$

Этап 9.3.6.4

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}$

Этап 9.3.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{2}}$

Этап 9.3.6.7

Перепишем ${\sqrt{13}}^{2}$ в виде $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{13}$ в виде $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.6.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.6.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.6.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.6.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{1}}$

Этап 9.3.6.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13}$

Этап 9.3.7

Умножим $6$ на $13$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$

Этап 9.3.8

Умножим $\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.8.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{\sqrt{13}}{78}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{9 \cdot 78}$

Этап 9.3.8.2

Умножим $9$ на $78$ .

$\frac{\sqrt{13}}{702}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

Этап 11.2

Упростим $\frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 2) - 4$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Этап 11.2.1.4

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3} - 4$

Этап 11.2.1.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3} - 4$

Этап 11.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} - 4$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.2.3

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 - 12}{3}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $12$ из $- 4$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 16}{3}$

Этап 11.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - 2) - 4$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Этап 12.2.1.4

Умножим $- \frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + 2 (\frac{2}{3}) - 4$

Этап 12.2.1.4.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} - 4$

Этап 12.2.1.4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{4}{3} - 4$

Этап 12.2.1.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - 4$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 12.2.3

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 12.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 - 12}{3}$

Этап 12.2.5.2

Вычтем $12$ из $4$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Этап 12.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}, y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(2, - 4)$

Вершины: $(\frac{5}{2}, - 4), (\frac{3}{2}, - 4)$

Фокусы: $(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4), (2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Фокальный параметр: $\frac{\sqrt{13}}{702}$

Асимптоты: $y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}$ , $y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 15