Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - y^{2} = 4 (x - y) + 1$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $4 (x - y)$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - y^{2} - 4 (x - y) = 1$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - y^{2} - 4 x - 4 (- y) = 1$

Этап 1.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 1.2.4.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 1.2.4.2.1.1.6.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Этап 1.3

Подставим ${(x - 2)}^{2} - 4$ вместо $x^{2} - 4 x$ в уравнение $x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 - y^{2} + 4 y = 1$

Этап 1.4

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

${(x - 2)}^{2} - y^{2} + 4 y = 1 + 4$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- y^{2} + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Этап 1.5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = - 2$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2.1.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $- (- 1 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - - 4$

Этап 1.5.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$e = 4$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(y - 2)}^{2} + 4$ .

$- {(y - 2)}^{2} + 4$

Этап 1.6

Подставим $- {(y - 2)}^{2} + 4$ вместо $- y^{2} + 4 y$ в уравнение $x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} + 4 = 1 + 4$

Этап 1.7

Перенесем $4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 1 + 4 - 4$

Этап 1.8

Упростим $1 + 4 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $1$ и $4$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 5 - 4$

Этап 1.8.2

Вычтем $4$ из $5$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 2$

$h = 2$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(2, 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + 1}$

Этап 5.3.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, 2)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, 2)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(3, 2), (1, 2)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2 + \sqrt{2}, 2)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2 - \sqrt{2}, 2)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(2 + \sqrt{2}, 2), (2 - \sqrt{2}, 2)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим $\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Этап 8.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Этап 8.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + 1}$

Этап 8.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Этап 11.2

Упростим $1 \cdot (x - (2)) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $x - (2)$ на $1$ .

$y = x - (2) + 2$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = x - 2 + 2$

Этап 11.2.2

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$y = x + 0$

Этап 11.2.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$y = x$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Этап 12.2

Упростим $- 1 \cdot (x - (2)) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = - 1 \cdot (x - 2) + 2$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 2 + 2$

Этап 12.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 2 + 2$

Этап 12.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = - x + 2 + 2$

Этап 12.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$y = - x + 4$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = x, y = - x + 4$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(2, 2)$

Вершины: $(3, 2), (1, 2)$

Фокусы: $(2 + \sqrt{2}, 2), (2 - \sqrt{2}, 2)$

Эксцентриситет: $\sqrt{2}$

Фокальный параметр: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Асимптоты: $y = x$ , $y = - x + 4$

Этап 15