Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + 2 x + 15 y = - 3 y^{2} + 7$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $3 y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 2 x + 15 y + 3 y^{2} = 7$

Этап 1.1.2

Перенесем $15 y$ .

$x^{2} + 2 x + 3 y^{2} + 15 y = 7$

Этап 1.1.3

Перенесем $2 x$ .

$x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 1.2.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Этап 1.3

Подставим ${(x + 1)}^{2} - 1$ вместо $x^{2} + 2 x$ в уравнение $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + 3 y^{2} + 15 y = 7$

Этап 1.4

Перенесем $- 1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

${(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} + 15 y = 7 + 1$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $3 y^{2} + 15 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 3$

$b = 15$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 \cdot 3}$

Этап 1.5.3.2

Сократим общий множитель $15$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$d = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

Этап 1.5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{2}$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $15$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 3}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$e = 0 - \frac{225}{12}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Сократим общий множитель $225$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $225$ .

$e = 0 - \frac{3 (75)}{12}$

Этап 1.5.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

Этап 1.5.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

Этап 1.5.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{75}{4}$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $\frac{75}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{75}{4}$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ .

$3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$

Этап 1.6

Подставим $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ вместо $3 y^{2} + 15 y$ в уравнение $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4} = 7 + 1$

Этап 1.7

Перенесем $- \frac{75}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{75}{4}$ к обеим частям.

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 7 + 1 + \frac{75}{4}$

Этап 1.8

Упростим $7 + 1 + \frac{75}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Запишем $7$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} + 1 + \frac{75}{4}$

Этап 1.8.1.2

Умножим $\frac{7}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

Этап 1.8.1.3

Умножим $\frac{7}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

Этап 1.8.1.4

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} + \frac{75}{4}$

Этап 1.8.1.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Этап 1.8.1.6

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Этап 1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4 + 4 + 75}{4}$

Этап 1.8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Умножим $7$ на $4$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{28 + 4 + 75}{4}$

Этап 1.8.3.2

Добавим $28$ и $4$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{32 + 75}{4}$

Этап 1.8.3.3

Добавим $32$ и $75$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{107}{4}$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $\frac{107}{4}$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{3 {(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{4}} = \frac{\frac{107}{4}}{\frac{107}{4}}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{{(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{12}} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \frac{\sqrt{107}}{2}$

$b = \frac{\sqrt{321}}{6}$

$k = - \frac{5}{2}$

$h = - 1$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 1, - \frac{5}{2})$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{107}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{107}}^{2}$ в виде $107$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{107}$ в виде $107^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{321}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}}$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt{321}}^{2}$ в виде $321$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{321}$ в виде $321^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}}$

Этап 5.3.4.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}}$

Этап 5.3.5

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $321$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $321$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

Этап 5.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

Этап 5.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}}$

Этап 5.3.7

Чтобы записать $\frac{107}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}}$

Этап 5.3.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Умножим $\frac{107}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}}$

Этап 5.3.8.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}}$

Этап 5.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}}$

Этап 5.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Умножим $107$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}}$

Этап 5.3.10.2

Вычтем $107$ из $321$ .

$\sqrt{\frac{214}{12}}$

Этап 5.3.11

Сократим общий множитель $214$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $214$ .

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}}$

Этап 5.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

Этап 5.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

Этап 5.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{107}{6}}$

Этап 5.3.12

Перепишем $\sqrt{\frac{107}{6}}$ в виде $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$

Этап 5.3.13

Умножим $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Этап 5.3.14

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.14.1

Умножим $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 5.3.14.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Этап 5.3.14.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Этап 5.3.14.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.14.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 5.3.14.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.14.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.14.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.14.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.14.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.14.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.14.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Этап 5.3.14.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6}$

Этап 5.3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{107 \cdot 6}}{6}$

Этап 5.3.15.2

Умножим $107$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{642}}{6}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Этап 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 1 - (\frac{\sqrt{107}}{2}), - \frac{5}{2})$

Этап 6.5

Упростим.

$(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Этап 6.6

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Этап 7.3

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 1 - (\frac{\sqrt{642}}{6}), - \frac{5}{2})$

Этап 7.5

Упростим.

$(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}}{\frac{\sqrt{107}}{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{107}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.3

Перепишем ${\sqrt{107}}^{2}$ в виде $107$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{107}$ в виде $107^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.3.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.4.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{321}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.5

Перепишем ${\sqrt{321}}^{2}$ в виде $321$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{321}$ в виде $321^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.5.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.6

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.7

Сократим общий множитель $321$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $321$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.8

Чтобы записать $\frac{107}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1

Умножим $\frac{107}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.9.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.1

Умножим $107$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.11.2

Вычтем $107$ из $321$ .

$\sqrt{\frac{214}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.12

Сократим общий множитель $214$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $214$ .

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{107}{6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.13

Перепишем $\sqrt{\frac{107}{6}}$ в виде $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.14

Сократим общий множитель $\sqrt{107}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

Этап 8.3.14.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot 2$

Этап 8.3.15

Объединим $\frac{1}{\sqrt{6}}$ и $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.16

Умножим $\frac{2}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.17

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.17.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 8.3.17.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Этап 8.3.17.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Этап 8.3.17.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.17.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 8.3.17.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.17.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.17.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.17.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.17.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.17.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.17.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{1}}$

Этап 8.3.17.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6}$

Этап 8.3.18

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.18.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (\sqrt{6})}{6}$

Этап 8.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Этап 8.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Этап 8.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(- 1, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 10