Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + 2 x + y - 1 = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x + y - 1 = - x^{2}$

Этап 1.1.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$y - 1 = - x^{2} - 2 x$

Этап 1.1.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - x^{2} - 2 x + 1$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- x^{2} - 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = 1$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 1$

Этап 1.2.3.2.2

Перепишем $- 1 \cdot - 1$ в виде $- - 1$ .

$d = - - 1$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$d = 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = 1 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 1 - \frac{4}{- 4}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $4$ на $- 4$ .

$e = 1 - - 1$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = 1 + 1$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$e = 2$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x + 1)}^{2} + 2$ .

$- {(x + 1)}^{2} + 2$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - {(x + 1)}^{2} + 2$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = - 1$

$k = 2$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 1, 2)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 1, \frac{7}{4})$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 1$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{9}{4}$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(- 1, 2)$

Фокус: $(- 1, \frac{7}{4})$

Ось симметрии: $x = - 1$

Директриса: $y = \frac{9}{4}$

Этап 10