Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} + 16 y - 4 x + 4 = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $x$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$16 y - 4 x + 4 = - y^{2}$

Этап 1.1.1.2

Вычтем $16 y$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x + 4 = - y^{2} - 16 y$

Этап 1.1.1.3

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - y^{2} - 16 y - 4$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $- 4 x = - y^{2} - 16 y - 4$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - y^{2} - 16 y - 4$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 16$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 16 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (4 y)}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (4 y)}{- 4 (1)} + \frac{- 4}{- 4}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (4 y)}{- 4 \cdot 1} + \frac{- 4}{- 4}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 y}{1} + \frac{- 4}{- 4}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.4

Разделим $4 y$ на $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + 4 y + \frac{- 4}{- 4}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Разделим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + 4 y + 1$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $\frac{y^{2}}{4} + 4 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 4$

$c = 1$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{\frac{1}{4}}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 2 \cdot 4$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$d = 8$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{4^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e = 1 - \frac{4}{\frac{1}{4}}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = 1 - (4 \cdot 4)$

Этап 1.2.4.2.1.3

Умножим $- (4 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 1 - 1 \cdot 16$

Этап 1.2.4.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 1 - 16$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $16$ из $1$ .

$e = - 15$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{4} {(y + 8)}^{2} - 15$ .

$\frac{1}{4} {(y + 8)}^{2} - 15$

Этап 1.3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 8)}^{2} - 15$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 15$

$k = - 8$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 15, - 8)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Этап 5.3.2

Упростим путем деления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 5.3.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 14, - 8)$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = - 8$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - 16$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- 15, - 8)$

Фокус: $(- 14, - 8)$

Ось симметрии: $y = - 8$

Директриса: $x = - 16$

Этап 10