Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} = - 8 (y - 2)$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 8 (y - 2) = x^{2}$ .

$- 8 (y - 2) = x^{2}$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $- 8 (y - 2) = x^{2}$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $- 8 (y - 2) = x^{2}$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 (y - 2)}{- 8} = \frac{x^{2}}{- 8}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 (y - 2)}{- 8} = \frac{x^{2}}{- 8}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $y - 2$ на $1$ .

$y - 2 = \frac{x^{2}}{- 8}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8}$

Этап 1.1.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{x^{2}}{8} + 2$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{8} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$b = 0$

$c = 2$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{8})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{8})}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{8})}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{8}}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 0 (- 1 \cdot 8)$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $0 (- 1 \cdot 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$d = 0 \cdot - 8$

Этап 1.2.3.2.3.2

Умножим $0$ на $- 8$ .

$d = 0$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 2 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 2 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{8})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 2 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{8})}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{8}$ .

$e = 2 - \frac{0}{\frac{- 4}{8}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$e = 2 - \frac{0}{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Этап 1.2.4.2.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$e = 2 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Этап 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 2 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Этап 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 2 - \frac{0}{\frac{- 1}{2}}$

Этап 1.2.4.2.1.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = 2 - \frac{0}{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = 2 - (0 (- 1 \cdot 2))$

Этап 1.2.4.2.1.5

Умножим $- (0 (- 1 \cdot 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e = 2 - (0 \cdot - 2)$

Этап 1.2.4.2.1.5.2

Умножим $0$ на $- 2$ .

$e = 2 - 0$

Этап 1.2.4.2.1.5.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 2 + 0$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$e = 2$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{8} {(x + 0)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{8} {(x + 0)}^{2} + 2$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{8} \cdot {(x + 0)}^{2} + 2$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$h = 0$

$k = 2$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, 2)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Этап 5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Этап 5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 5.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (1 \cdot 2)$

Этап 5.3.5

Умножим $- (1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Этап 5.3.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 0)$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 0$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = 4$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, 2)$

Фокус: $(0, 0)$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = 4$

Этап 10