Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (\sqrt[3]{\frac{1}{9}})$

Этап 1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{9}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{9}})$

Этап 2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{9}})$

Этап 3

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Этап 4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Этап 4.2

Возведем $\sqrt[3]{9}$ в степень $1$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}})$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}})$

Этап 4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ в виде $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{9}$ в виде $9^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Этап 4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Этап 4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}})$

Этап 4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}})$

Этап 4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}})$

Этап 4.5.5

Найдем экспоненту.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9})$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{9^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{9^{2}}}{9})$

Этап 5.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{81}}{9})$

Этап 5.3

Перепишем $81$ в виде $3^{3} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $27$ из $81$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{27 (3)}}{9})$

Этап 5.3.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9})$

Этап 5.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{9})$

Этап 6

Сократим выражение $\frac{3 \sqrt[3]{3}}{9}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt[3]{3}$ .

$\log_{3} (\frac{3 (\sqrt[3]{3})}{9})$

Этап 6.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3})$

Этап 6.3

Сократим общий множитель.

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3})$

Этап 6.4

Перепишем это выражение.

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{3}}{3})$

Этап 7

Перепишем $\frac{\sqrt[3]{3}}{3}$ в виде $\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1}$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1})$

Этап 8

Перепишем $\log_{3} (\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1})$ в виде $\log_{3} (\sqrt[3]{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$

Этап 9

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - \log_{3} (3)$

Этап 10

Логарифм $3$ по основанию $3$ равен $1$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - 1 \cdot 1$

Этап 11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - 1$

Этап 12

Перепишем $\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Этап 12.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt[3]{3})}{\log (3)} - 1$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\log (\sqrt[3]{3})}{\log (3)} - 1$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{6}$