Основы мат. анализа Примеры

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{32}})$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{16 (2)}})$

Этап 1.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4^{2} \cdot 2}})$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\log_{4} (\frac{1}{4 \sqrt{2}})$

Этап 2

Умножим $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{4 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

Этап 3.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

Этап 3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

Этап 3.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{2}})$

Этап 3.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Этап 3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Этап 3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{1}})$

Этап 3.7.5

Найдем экспоненту.

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2})$

Этап 4

Умножим $4$ на $2$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{8})$

Этап 5

Перепишем $\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{8})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Этап 5.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{\sqrt{2}}{8})}{\log (4)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\log (\frac{\sqrt{2}}{8})}{\log (4)}$

Десятичная форма:

$- 1.25$