Основы мат. анализа Примеры

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + 5 \log (y) - 6 \log (\sqrt{x y})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $5 \log (y)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - 6 \log (\sqrt{x y})$

Этап 1.2

Упростим $- 6 \log (\sqrt{x y})$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({\sqrt{x y}}^{6})$

Этап 1.3

Перепишем ${\sqrt{x y}}^{6}$ в виде ${(x y)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x y}$ в виде ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{6})$

Этап 1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 6})$

Этап 1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{6}{2}})$

Этап 1.3.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{2 \cdot 3}{2}})$

Этап 1.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})$

Этап 1.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})$

Этап 1.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{3}{1}})$

Этап 1.3.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{3})$

Этап 1.4

Применим правило умножения к $x y$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log (x^{3} y^{3})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{5}) - \log (x^{3} y^{3})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{5}}{x^{3} y^{3}})$

Этап 4

Сократим общий множитель $y^{5}$ и $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{5}$ .

$\log (\frac{y^{3} (\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{2})}{x^{3} y^{3}})$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $x^{3} y^{3}$ .

$\log (\frac{y^{3} (\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{2})}{y^{3} x^{3}})$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{y^{3} (\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{2})}{y^{3} x^{3}})$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{2}}{x^{3}})$

Этап 5

Объединим $\frac{x^{2}}{y^{3}}$ и $y^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} y^{2}}{y^{3}}}{x^{3}})$

Этап 6

Сократим выражение $\frac{x^{2} y^{2}}{y^{3}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{2} y^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{y^{2} x^{2}}{y^{3}}}{x^{3}})$

Этап 6.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3}$ .

$\log (\frac{\frac{y^{2} x^{2}}{y^{2} y}}{x^{3}})$

Этап 6.3

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{\frac{y^{2} x^{2}}{y^{2} y}}{x^{3}})$

Этап 6.4

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{y}}{x^{3}})$

Этап 7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log (\frac{x^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

Этап 8

Объединим.

$\log (\frac{x^{2} \cdot 1}{y x^{3}})$

Этап 9

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot 1$ .

$\log (\frac{x^{2} (1)}{y x^{3}})$

Этап 9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $y x^{3}$ .

$\log (\frac{x^{2} (1)}{x^{2} (y x)})$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} (y x)})$

Этап 9.2.3

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{1}{y x})$