Основы мат. анализа Примеры

$\cos (120 + 45)$

Этап 1

Чтобы перевести градусы в радианы, умножим на $\frac{π}{180 °}$ , поскольку полный оборот соответствует $360 °$ или $2 π$ радиан.

Этап 2

Добавим $120$ и $45$ .

$\cos (165) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3

Точное значение $\cos (165)$ : $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \cos (15) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.2

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \cos (45 - 30) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.3

Выделим отрицательную часть.

$- \cos (45 - (30)) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.4

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.5

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.6

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.7

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30)) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.8

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.9

Упростим $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.9.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.9.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.9.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.9.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.9.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 3.9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ рад.

Этап 4

Умножим $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{π}{180}$ на $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{π (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{180 \cdot 4}$ рад.

Этап 4.2

Умножим $180$ на $4$ .

$- \frac{π (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{720}$ рад.