Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{2} + 7 y^{2} = 14$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $14$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{2 x^{2}}{14} + \frac{7 y^{2}}{14} = \frac{14}{14}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \sqrt{7}$

$b = \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\sqrt{7})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{7^{1} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{7 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{7 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{7 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{7 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{7 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{7 - 2^{1}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{7 - 1 \cdot 2}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{7 - 2}$

Этап 5.3.3.2

Вычтем $2$ из $7$ .

$\sqrt{5}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 + \sqrt{7}, 0)$

Этап 6.3

Упростим.

$(\sqrt{7}, 0)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 - (\sqrt{7}), 0)$

Этап 6.6

Упростим.

$(- \sqrt{7}, 0)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 + \sqrt{5}, 0)$

Этап 7.3

Упростим.

$(\sqrt{5}, 0)$

Этап 7.4

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 - (\sqrt{5}), 0)$

Этап 7.6

Упростим.

$(- \sqrt{5}, 0)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{5}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{7})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{7^{1} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{7 - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{7 - 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{7 - 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{7 - 2^{1}}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{7 - 1 \cdot 2}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{7 - 2}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.4

Вычтем $2$ из $7$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 8.3.3.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Этап 8.3.3.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Этап 8.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 8.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Этап 8.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

Этап 8.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

Этап 8.3.4.2

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{\sqrt{35}}{7}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{5}, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{35}}{7}$

Этап 10